q阶矩结构配分函数法简介

对于一个给定的时间序列X=｛Xk，k=1，2，3，…，N｝，N=2n，q阶矩结构配分函数法（q th-order moment structure partition function，QMSPF）［4-5］可以概括为下面几个步骤。

步骤2　将新的时间序列｛xi｝划分为v个长度为s的序列区间段，s=1，2，22，…，2n，可以获得每个序列的盒概率为

步骤3　随着s的变化，q阶矩结构配分函数表示为

可以检测其是否符合下式的幂律关系

式中，τ（q）为实数q的质量指数函数。

步骤4　为了计算给定的q阶质量指数函数τ（q），可应用最小二乘法估计

运用Legendre变换处理质量指数函数q～τ（q）来计算奇异性谱

式中，α（q）为奇异性指数，f［α（q）］为奇异性谱。

当式（3.39）所描述的尺度规律成立时，这个序列是一个分形过程。此外，如果质量指数τ（q）不是q的线性函数，这个序列就是一个多重分形信号，否则，这个序列就是一个单分形信号。QMSPF方法也可称为基于配分函数法的多重分形分析法（multifractal analysis based on the partition function approach，MFPF）。

对于二维信号，可使用基于配分函数法的二维多重分形分析法［2D-MFPF（q）算法］［6-7］进行MFS估计。类似于一维配分函数法，2D-MFPF（q）算法要确保数据序列能够被标准化，有两个基本要求：第一，输入数据序列中不含有趋势项；第二，时间序列中所有的数值大于0或者绝大部分数值大于0，极少部分数值等于0。2DMFPF（q）算法的具体步骤如下。

步骤2　将这两个新的序列划分成N1s×N2s个大小为s1×s2的互不相交的区间段，s1=1，2，22，…，2m，s2=1，2，22，…，2n，N1s=［N1／s1］，N2s=［N2／s2］。每个方块用Xv，w表示，Xv，w（i，j）=XX（l1+i，l2+j），1≤i≤s1，1≤j≤s2，其中，l1=（v-1）s1，v=1，2，…，N1s，l2=（w-1）s2，w=1，2，…，N2s。可以定义每个区间段中序列的盒概率为(www.xing528.com)

可以检测其是否符合下式的幂律关系

式中，τ（q）为实数q的质量指数函数。

步骤4　为了计算给定的q阶质量指数函数τ（q），可以应用最小二乘法估计

运用Legendre变换处理质量指数函数q～τ（q）来计算奇异性谱

式中，α（q）为奇异性指数，f［α（q）］为奇异性谱，Df为拓扑维数，对于二维信号序列，Df=2。

当式（3.45）所描述的尺度规律成立时，这个序列是一个分形过程。此外，如果质量指数τ（q）不是q的线性函数，这个序列就是一个多重分形信号，否则，这个序列就是一个单分形信号。为简便起见，本章选择N1=N1=N=2n，s1=s2=s。