关联维数在混沌系统研究中的应用

关联维数（correlation dimension，CD）是混沌和耗散系统研究的重要参数，可用于定量描述非线性系统的运动特性。耗散系统在随时间的演化过程中，其运动将会收敛到称为吸引子的低维集合上。如果运动形式是混沌的，这些吸引集将是不规则的，并且会有分数维数，称为分形，这种情况下的吸引子称为奇怪吸引子。在混沌系统研究中，分形维数是定量刻画混沌吸引子“奇异”程度的一个重要参数，在众多的分形维数中，关联维数对吸引子的不均匀性反应敏感，更能反映吸引子的动态结构，系统的不确定性成分越多，关联维数越大；系统的确定性成分越多，关联维数越小。它不仅量化了分形自相似性质，同时也是区分混沌和其他运动形式的主要依据。

由Grassberger和Procaccia于1983年提出的GP算法是定义和计算关联维数的经典方法，也是混沌时间序列研究中一个极其重要的突破，它使得对混沌时间序列的研究不仅仅局限于已知的混沌系统，而是任何实测的混沌时间序列，从而为混沌时间序列的研究进入实际应用开辟了一条道路。

从一个时间间隔一定的单变量时间序列x1，x2，x2，…，xn出发，构造一批m维的矢量，支起一个嵌入空间，只要嵌入维数足够高（通常要求m＞2D+1，D为动力系统的维数），就可以在拓扑等价的意义下恢复系统原来的动力学形态。对于时间序列，通常采用时间差法重构相空间，即按照间隔为τ从时间序列中取数作为矢量的分量，因而构造出一批矢量，即

式中，m为嵌入维数（即重构的相空间的维数），Xi为重构后的相空间中的矢量；τ为延迟时间，n为原时间序列的点数（或长度），N=n-（m-1）τ为重构后的相空间矢量的个数。上述重构相空间的过程相当于将一维时间序列映射到m维欧氏空间，在重构的Rm空间中的轨线上原动力系统保持微分同胚，即只要m和τ选择恰当，就可以在拓扑等价的意义下恢复原来系统的动力学性态。

任选m维相空间中点集｛Xi｝（i=1，2，3，…，N）的一点Xi=［xi，xi+τ，xi+2τ，…，xi+（m-1）τ］作参考点，计算另外N-1个点到它的距离，则可以统计出落于以点Xi为中心，以小标量r为半径的体积元中的点的个数，从而得到关联函数（也称关联积分）Cm（r）为

当|r2-r1|很小时，有D2（m，r2）≈D2（m，r1）。由以上两个式子，容易得到

因此，画出双对数曲线ln Cm（r）-ln r，取其中线性度比较好的部分，对其进行最小二乘线性拟合，拟合直线的斜率即为对应时间序列的关联维数。(www.xing528.com)

关联维数计算时，嵌入维数m和延迟时间τ的选取至关重要，一般采用饱和关联维数法和自相关函数法等分别确定。其中，饱和关联维数法即逐步增加嵌入维数m，重复上述计算过程，直到相应的维数估计值D2（m，r）不再随着m的增大而在一定的误差范围内波动。此时得到的D2即为动力系统吸引子的关联维数。如果D2随m的增大而增大，并不收敛于一个稳定的值，则表明所考虑的系统是一个随机时间序列。