计算盒维数的方法及应用

这里舍去了log k，因为它是常数项，当r→0时，分母趋于无穷大。另外，由于0＜r＜1，log r为负数，所以d为我们所期望的正数。通常用Dd来表示盒维数。

需要注意的是，存在一些集合A不能被定义，因为不存在d使得Nr（A）趋向于一个极限值。在实际计算中，可以根据需要使用一些边长为r的n维立方体（盒子）来计算出不同r值的盒子覆盖A的个数Nr（A），然后在以-log r为横坐标、以log Nr（A）为纵坐标的双对数坐标系中描出点［-log ri，log Nri（A）］，最后由这些分布点的斜率便可以估计出集合A的盒维数。而斜率的估计常采用最小二乘线性回归方法。

盒维数又称为闵可夫斯基（Minkowski）维数、容量维数或度量维数，这种维数由于计算简单以及易于经验估计而得到广泛的应用。在分形维数定义中，所采用的盒子类型是闭球族，即度量空间中一个给定集合的闭球覆盖。研究表明，采用正方形覆盖代替闭球覆盖可得到具有等价意义的分形维数定义。所谓正方形盒子是指Rn中具有下列形式的集合（也称超立方体）：［m1ε，（m1+1）ε］×［m2ε，（m2+1）ε］×…×［mnε，（mn+1）ε］，其中ε（＞0）称为盒子的边长，m1，m2，…，mn都是整数。可见，在R中，盒子就是闭区间；在R2中，盒子就是正方形。在实际应用中，涉及分形维数的计算问题总是假设给定集合的分形维数是存在的，而不过多地讨论分形维数的存在性，即极限的收敛性质。一维时间信号序列的盒计数法为：将一维信号序列在横轴和纵轴方向分别归一化之后，改变尺寸1＞ε＞0，对覆盖信号序列的小方格数N（ε）进行计算，而后，改变覆盖单元的尺寸值ε=1，1／2，1／3，1／4，1／5，…，1／N，计算N（ε）～ε-D，得到分形维数。图3.1即ε=1／10时的盒计数法示意图。

图3.1　一维信号的盒计数法示意图

二维图像的盒维数的计算方法如下［1］：

（1）选择一个大小为M×M的二维图像F，将其灰度值矩阵的长度和灰度值归一化后放于一个立方体内。

（2）选取边长为ε的方格网（盒子）去覆盖单位正方形平面，计算不同尺寸ε下与立方体交叠的盒子个数N（ε）。当ε→0时，则盒子恰好包含立方体的一个点，亦可认为此时盒子与点的形状完全符合，正好填满立方体。(www.xing528.com)

（3）定义盒维数DB=lg［N（ε）］／lg（1／ε）。分数维是盒维数在ε→0时的极限值。实际中盒子尺寸不可能无穷小，但只要小到一定程度后，结果差距相当微弱，就可以用盒维数来取代分数维作为分析的对象。

（4）如果曲线是一种完全的分形，则对数比曲线DB=lg［N（ε）］／lg（1／ε）为一直线，盒维数DB就是该直线的斜率，如果lg［N（ε）］／lg（1／ε）图上只有一部分是直线时，则此图形的自相似性（标度不变性）只存在于直线部分的测度范围内。

实际的分形和理想的规则分形不同，它只存在于有限的范围之内。如果对数比曲线不是理想直线，说明该图形分形特征不明显，则用对数比曲线的最小方差拟合直线的斜率来代替。同时，Mandelbrot有效维数的概念也说明分形特征是有尺寸范围的。所以实际处理盒维数时，应该从对数比值趋于稳定，对数比曲线趋于直线的范围内开始拟合。