分形维数与多重分形谱估计

分形维数（Fractal Dimension，FD）和多重分形谱（Multifractal Spectrum，MFS）是分形几何分支中的基础性概念，也是随机分形信号分析和处理的核心问题和概念之一。分形维数与传统的几何学、函数空间、动力系统分析等有密切的关系。从分形集合的角度而言，分形维数是对非欧氏几何空间中的分形集合“不变量”的数值表征参量；从系统动力学分析的角度而言，分形维数描述的是系统状态变量形成的空间吸引子的维数；从函数的连续性和可微性角度而言，分形维数给出了函数分数阶可微性和多项式拟合的局部度量阶数。因此估计信号或系统的分形维数，对于揭示信号和系统本质有着重要意义，可深度挖掘信号背后潜在的动力学机制和不变性特征。多重分形谱（或称奇异谱）进一步拓展了分形维数的概念，将对分形的刻画从一个单一的分维数发展到对具有不同奇异性指数的分形支集的分形测度的表征，从而避免了规则分形模型对局部和细节信息的忽视。

在过去的几十年里，复杂的自然系统中出现的尺度不变性和分形行为已经被实验所证实。由数学严格迭代产生的分形信号模型，可直接由定义出发推导分形维数的解析表达式，但随机分形信号只具有统计意义下的自相似性，需采用统计估计方法。多重分形是定义在分形结构上的有多个标度指数所组成的集合，对信号进行多重分形特性分析是为了从系统的局部出发来研究其整体的特征，并借助统计物理学的方法来讨论特征参量的概率测度的分布规律。多重分形谱是用来描述分形结构上不同的局域条件或分形结构在演化过程中不同层次所导致的特殊的结构行为与特征的，其计算比较复杂，只有少数比较特殊的集合才有解析解，对一般的集合通常无法获得解析解，只能用数值计算的方法间接进行估计。(www.xing528.com)

本章重点介绍分形维数和多重分形谱估计理论和方法。对于分形维数，从经典计盒维数（box-counting dimension，BCD）出发，到基于傅里叶谱的分维、基于小波变换的分维、关联维（correlation dimension，CD）和信息维（information dimension，ID）；对于多重分形谱，介绍了基于传统的降趋分析类的方法和基于小波分析类的方法，包括配分函数法、多重分形降趋波动分析法（multifractal detrended fluctuation analysis，MFDFA）、多重分形降趋移动平均法（multifractal detrended moving average，MFDMA）、小波模极大值法（wavelet transform modulus maxima，WTMM）和小波leaders（wavelet leaders，WL）分析法等。本章进一步介绍了二维信号（图像）的多重分形谱估计方法，为后续章节广义的多重分形谱分析、重构和实际应用奠定了理论和算法基础。