多重分形谱分析简介

多重分形描述的是分形几何体在测度分布中的不同层次和特征［13］。把所研究的对象分成N个小区域，假设第i个小区域的线度大小为εi，分形体在该小区域内测度的分布概率为Pi。各小区域的测度分布概率是不同的，可以用不同的标度指数αi来表征，即

多重分形用α表示分形体小区域的分维，在εi→0时，小区域的数目变得非常多，于是得到一个由许多不同的α组成的序列所构成的谱，用f（α）表示，f（α）称为多重分形奇异谱或多重分形谱，表示了具有相同测度分布概率的小区域的分形维。实际上，从极限的角度看，α表示的是每一点的测度分布情况，可能在某些点上测度（质量）分布概率很大，另一些点上则分布概率很小，此时，传统物理中具有良好定义的密度的概念失效了，而局部分维α则较好地表征了测度分布的不均匀程度或者说是奇异性程度，因此，α又称为奇异指数。

令Eα=｛x：x∈Ω且α（x）=α｝，我们可定义谱

由以上定义知，测度μ的谱［α，f（α）］给出了一个集合的局部α与整体［f（α）］的描述。α刻画了测度的奇异性，因此亦称作奇异性指数或局部分形指数。多重分形奇异谱f（α）表征了奇异值α所在集合的差别，反映了α在某个子集上出现的次数。αf（α）谱是描述多重分形的一套基本语言［14］。

1.多重分形奇异谱f（α）

设x是拓扑维数为d的任意子集，μ是x上的一个测度，对于（x，μ）做适当的迭式划分，α是和划分有关的参数。第n步划分后具有相同测度μα的单元构成的支集为xn（α）。若是一个分形集，则称xα为（x，μ）的一个分形支集，于是多重分形可表示为具有不同维数的分形子集xα的并集。

若单元测度μα与单元尺度之间满足幂律关系μα～εα，其中α为Holder指数。因为α控制着测度μα的奇异性，α也称为奇异性指数。对于上述xα的任意δ覆盖｛Ui｝i∈N，当0＜diam Ui＜δ时，引入以下记号［15-16］：

由此可定义xα的时变r维Hausdorff测度

若存在临界指数f（α），使得

则称fh（α）为分形信号在Hausdorff测度下的时变奇异性谱，即由不同α组成的序列构成的谱。由上述定义可知，fh（α）就是分形支集xα的Hausdorff维数。

考虑到集合覆盖的任意性，不失一般性，当上述覆盖｛Ui｝i∈N是尺度为ε的盒子时，若［α，α+dα］内测度为μα的盒子数为N（α），则有下式成立：

2.拓展分形维数Dq

下面从信息论的角度给出另一套描述多重分形的参量。设测度支集x经过迭代后的单元为｛Δi｝，概率测度为μ，第i个单元的概率定义为(www.xing528.com)

若存在依赖于Pi的q阶矩所选择的临界指数τ（q），使得

则称τ（q）为质量维数，由μ的q阶矩，定义广义Renyi的q次信息维如下：

对均匀分形，通常用简单分维D0（容量维）、D1（信息维）、D2（关联维）就可以充分地描述。对多重分形则需用分形谱q-Dq或α-f（α）来描述。多重分形谱的计算比较复杂，只有少数比较特殊的集合才有解析解，对一般的集合通常无法获得解析解，只能用数值计算的方法间接进行估计，详见第3章。

3.多重分形奇异谱与扩展分形维数的关系

广义分形维数与多重分形奇异谱之间是Legendre变换关系，即当q≠1时，有

将式（2.33）代入τ（q）=（q-1）Dq，可得τ（q）=qα-f（α）。

在测度分析中，q次相关指数τ（q）一般称为质量指数。由此可见，若已知α与其谱f（α），便可求出Dq。反之，若根据实验测得的Pi先求得Dq，则α可由下式求得：

再根据式（2.33），即可求出

理论上q的范围越大越好（-∞＜q＜+∞），但实际计算过程中，随着|q|的增大，计算的工作量成倍增加，并且q增大到一定程度时，必然会引起计算机发生溢出性错误。并且q的范围如果过小，|q|每增加1时，f（α）的变化仍较大，这时得到的f（α）只是多重分形谱的一部分，不能全面反映研究对象的概率分布。随着q绝对值的增加，α和f（α）的值逐渐接近理论极限值。