多重分形的定义与特征

分形理论揭示了自然界中一大类无规则形体的内在规律——标度不变性，这些形体包括物理系统的混沌和由非线性动力学控制的海岸线、闪电、云等自然景观。人们通过对各类分形结构的深入研究，已经分别定义了各种分形维数。事实上，分形维数除了标志着分形体自相似的构造规律外，并不能完全揭示出产生相应结构的动力学过程。随着对分形研究的深入，人们发现并不存在一个普适的分形维数，仅用一个维数来描述经过复杂的非线性动力学演化过程而形成的结构显然是不够的。而且，在各个复杂形体形成过程中，其局部条件是十分重要的，它是造成各个复杂形体千差万别的主要原因之一。为了进一步了解在分形体形成过程中局部条件的作用，提出了多重分形［12］，它所描述的主要是某个参量的概率分布。多重分形也称为分形测度（fractal measure）、多标度分形、复分形等，它表示仅用一个取决于整体的特征标度指数（即分形维数）所不能完全描述的奇异概率分布的形式，换言之，是用一个谱函数来描述分形体不同层次的生长特征。多重分形是从系统的局部出发来研究其最终的整体特性。

类似于分形，多重分形也没有精确的定义，它描述的是一个具有如下丰富结构的测度：测度μ可能会以某种方式分布在一个区域上，使得测度的集中程度非常不规则。事实上，确实存在这样的点集，其上的局部测度分布服从一种指数为α的幂定律而对于不同的α值，可以确定不同的分形。于是，由单个测度可以生成各种各样的分形，据此就可以研究这些分形的结构以及它们的内部联系。

多重分形研究物理量或其他量在几何支集上的分布。支集既可以是通常的规则集，如平面、球面、几何实体等，也可以是分形集。定义在一个紧支集Ω上的测度μ称为是多重分形，如果对任意x∈Ω，存在α（x），使得(www.xing528.com)

式中，Br（x）是中心位于x、半径为r的球，α（x）称为Ω在x的局部Holder指数。