构造随机分形集：提高自然界随机自相似现象建模能力

根据分形集合构造过程中是否引入随机量，可将分形分为规则分形和随机分形。规则分形又称决定论分形，它是按一定规则造出的具有严格自相似的分形。然后，自然界中许多物理问题只具有统计意义和有限尺度下自相似性，因此无法用规则分形建模。通过在分形构造函数中以概率的方式引入随机量，可以构造随机分形集，随机分形集对自然界中广泛存在的随机／统计自相似现象具有更好的建模能力。

如第1章中提到的Cantor集、Koch曲线、Sierpinski铺垫、地毯和海绵等分形图形，均具有严格的自相似性。而自然界的许多事物所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，如蜿蜒曲折的海岸线、变换无穷的布朗运动轨迹等。这类曲线的自相似性是近似的或统计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不变区域，自相似性不复存在，即随机分形曲线。

一种典型的随机分形构造方法是在规则分形构造过程中引入随机量，如随机Koch曲线和随机Cantor集。在Koch曲线的构造过程中，每次迭代去掉区间中间的三分之一部分，用与去掉部分构成等边三角形的另外两条边来代替。但如果改用掷硬币的方法来决定新的部分是位于被去掉部分的“上边”，或者是“下边”，经过若干步迭代之后，可以得到一个看起来相当不规则的曲线，但它依然保留了Koch曲线的某些特征。(www.xing528.com)

三份Cantor集的构造也可以用几种不同的方法随机化。每次把线段分成三部分，但不是总去掉中间的一段，而是用掷骰子的方法来决定去掉哪一部分。另外，也可以在每步构造中随机地选择区间的长度，所以在第k步，可得到2k个不同长度的区间，最终得到一个看起来很不规则的随机Cantor分形集。通过把随机变化的大小与尺度联系起来，可以使这种分形有下面意义的统计自相似性（statistically selfsimilar）：即把它的某一小部分放大以后，与原来的整体具有相同的统计分布。这与（非随机的）自相似集是类似的，自相似集中放大集合的一小部分，可以得到与整体完全一样的集。

另一种随机分形的构造方法是基于统计分布的随机分形模型，如随机中点模型、基于统计分布的小波多重分形模型、随机乘法级联模型、双谱重构模型等，这些内容将在第7章详细介绍。