Hausdorff测度简介

1.Hausdorff测度

任意非空子集U（在n维欧氏空间Rn）的直径定义为

即U内任意两点之间距离的最大值。式中，sup是上确界（supremum）的缩写。

Hausdorff测度定义为：设s≥0，对任意一个F⊆Rn和δ＞0，令

对Rn中任意子集F这个极限都存在，但是这个极限值可以并且通常是0、正有限或+∞。我们称Hs（F）：P（Rn）→［0，+∞］为F的s维Hausdorff测度。Hausdorff测度的数学定义是严密的。直观上，可简单理解为：s维Hausdorff测度是与一维的长度、二维的面积和三维的体积相等同的；s维Hausdorff测度是对任意s维对象都适用的一种度量，是长度、面积和体积等概念的推广，即一维用长度来度量，二维用面积来度量，三维用体积来度量，那么s维需采用s维Hausdorff测度。

2.Hausdorff测度的基本性质

（1）Hs（∅）=0；

（2）如果E⊂F，则Hs（E）≤Hs（F）；

（4）如果F是Borel集，那么对任意的A⊆Rn，有Hs（A）=Hs（A∩F）+Hs（A∩Fc）。

定理2.1的4条性质中，（2）称为（外）测度的单调性；（3）是可数子集的次可加性；（4）是在F1，F2，…互不相交的Borel集的情况下得到的（3）中的等号情形。证明过程可参考文献［8］。

定理2.3（比例性质）　对于任意的F⊆Rn和λ＞0，有Hs（λF）=λs Hs（F），式中λF=|λx：x∈F|，即F按比例放大λ倍。

长度、面积和体积的比例性质是众所周知的。当比例放大λ倍时，曲线的长度放大λ倍，平面区域的面积放大λ2倍，三维物体的体积放大λ3倍。正如所预料的，s维Hausdorff测度放大λs倍。这个比例性质是分形理论的基础。

我们期望Hausdorff测度Hs是平移不变的，即Hs（F+z）=Hs（F），式中，F+z=｛x+z：x∈F｝。下面的定理说明了这点。

定理2.4　设F⊆Rn，且f：F→R m是一个映射，使得对常数c＞0，α＞0有

则对每一个s，有Hs／α［f（F）］≤cs／αHs（F）。式（2.14）称为指数为α的Holder条件，这是一个使f为连续的条件。

证明：令｛Ui｝是F的一个δ覆盖，于是|f（F∩Ui）|≤c|Ui|α＜cδα，这表明｛f（F∩Ui）｝是f（F）的cδα覆盖。因此有

推论2.1　（1）如果函数f满足|f（x）-f（y）|≤c|x-y|，x，y∈F，则f称为李普希茨函数（Lipschitz function）。在这种情况下有Hs［f（F）］≤cs Hs（F）。(www.xing528.com)

（2）如果函数f满足|f（x）-f（y）|=c|x-y|，则有Hs［f（F）］=cs Hs（F），并且称集合f（F）几何相似于集合F。

（3）进一步地，如果f是一个等距（或保距）映射，即|f（x）-f（y）|=|x-y|，则有Hs［f（F）］=Hs（F）。

图2.1　集F的Hs（F）-s图