函数和极限的关系优化：函数与极限的密切关联

1）函数、映射

设X，Y为任意集，从X到Y的一个映射或函数f是指对于X中的每一点x，都有Y中一点f（x）与之对应的一种规则或公式。用f：X→Y表示这种情形，X称为f的定义域，Y称为f的值域。如果A是X中的任一子集，则记f（A）表示A的映像｛f（x）：x∈A｝。如果B为Y的任一子集，则f-1（B）表示B的逆映像或B的原像，也就是集合｛x∈X：f（x）∈B｝。

2）单射／满射、双射

函数f：X→Y称为单射或一函数，如果x≠y，则f（x）≠f（y），即X中不同元素的映像是Y中的不同元素。函数f称为满射或映射函数，假如对Y中的每一元素y，都有X中的元素x，使得f（x）=y；即Y中的每一元素都是X中某元素的像。若一个函数f既是单射又是满射，则称其为X，Y之间的双射或一一对应关系。若f：X→Y为一双射，则可以定义反函数f-1：Y→X，f-1（y）表示X中使得f（x）=y的唯一的元素x。所以，此时有f-1［f（x）］=x，x∈X；f［f-1（y）］=y，y∈Y。

3）复合映射

函数f：X→Y与函数g：Y→Z的复合函数定义为函数g◦f：X→Z，满足（g◦f）（x）=g［f（x）］，该定义可推广至任意有限个函数复合的情形。

4）全等变换／相似变换

通常将从Rn到Rn的某些具有特定集合意义的函数称之为变换。变换S：Rn→Rn称为全等变换或保距变换，如果对x，y∈Rn，有|S（x）-S（y）|=|x-y|。全等变换也保持角度不变，把集变换到一个几何全等集。特殊情况包括平移，即具有形式S（x）=x+a的变换，以及中心在a的旋转S，满足|S（x）-a|=|x-a|。反射是将点映射到关于某个（n-1）维超平面对称的镜像点。变换S：Rn→Rn称为相似变换，加入存在常数c，使得|S（x）-S（y）|=c|x-y|，x，y∈Rn，相似变换把集变换成一个几何相似的集，其中c为相似比因子。

5）仿射变换

当满足T（x+y）=T（x）+T（y）及T（λx）=λT（x），x，y∈Rn，λ∈R，则变换T：Rn→Rn称为线性的。假如T（x）=0当且仅当x=0时成立，则线性变换T称为非奇异的。若S：Rn→Rn具有形式S（x）=T（x）+a，这里T为非奇异线性变换，a为Rn中一点；则S称为仿射变换或仿射，它在不同方向可以有不同的压缩或扩张。然而，如果T是正交的，则S是全等的；当T是数乘的或者是一个正交变换，则T是相似的。

6）利普希茨函数

函数f：X→Y称为指数为α的Holder函数，如果存在某个常数c≥0，使得

则当α=1时，称为利普希茨函数，即

如果对0＜c1≤c2＜+∞有

这时f和f-1：f（X）→X都是利普希茨函数，则称函数f为双利普希茨函数。

7）函数的极限(www.xing528.com)

8）函数的上（下）极限

9）同胚映射

如果当x→a时，f（x）→f（a），则称函数f：X→Y在X中的a点连续；如果f在X中的所有点都连续，则称f在X上连续。特别要指出的是，利普希茨函数和Holder函数都是连续函数。若f：X→Y是具有连续逆映射f-1：Y→X的连续双射，则称f为同胚映射，X与Y称为同胚集。

10）线性映射

如果

则称函数f：R→R在x点可微且有导数f′（x）。特别地，中值定理成立，即如果a＜b，f在［a，b］上可微，则存在c，a＜c＜b，使得

如果f′（x）在x点连续，称函数f为连续可微。

更一般地，对于f：Rn→Rn，如果

则称f在x点可微且具有导数即线性映射f′（x）：Rn→Rn。

11）一致收敛性

如果对于X中的每一个x，当k→+∞时，fk（x）→f（x），则称函数序列fk逐点收敛于函数f：X→Y。如果当k→+∞时，supx∈X|fk（x）→f（x）|→0，则称收敛是一致的。一致收敛是比逐点收敛更强的性质，它在X中的每一点接近极限点的速率都是一致的。若函数fk是连续的且一致收敛于f，则f是连续的。