集合论基础：理论与应用

1.集合的基本概念

集合是一个不可精确定义的概念，一般是指具有某种性质的个体的总和。对于给定的集合，任给一个个体，可以判断这个个体在或者不在这个集合里面，如实数集合、有理数集合等。一般，集合用大写字母表示，如X，Y，Z等，集合中的个体称作点或元素，用小写字母表示，如a，b，x，y等。点x在集合X中记为x∈X，一个集合X中的点全包含在另一个集合Y中，则说前者是后者的子集，记做X⊂Y。经常出现的集合用特殊的符号来表示：空集，即不包括任何元素的集合，记为∅；由全体整数组成的集合记为Z；由全体有理数组成的集合记为Q。用上标“+”表示集合中的正元素，于是R+表示正实数集，Z+表示正整数集。有时，由全体复数［a，b）组成的集合记为C，由于复数x1+i x2与平面上的点（x1，x2）相对应，所以很多情况下把C看成与平面R2是同构的。

中心在点x且半径为r的闭球定义为B（x，r）=｛y：|y-x|≤r｝；类似地，开球定义为B0（x，r）=｛y：|y-x|＜r｝。闭球包含作为边界的球面，而开球则不包含球面。当然R2中的球是一个圆盘，而R1中的球是一个区间。如果a＜b，记［a，b］表示闭区间｛x：a≤x≤b｝，而（a，b）表示开区间｛x：a＜x＜b｝；同样地，［a，b）表示半开区间｛x：a≤x＜b｝。集合｛y=（y1，…，yn）：|yi-xi|≤r，i=1，…，n｝表示中心在点x=（x1，…，xn），边长为2r的坐标立方体（R2中的坐标立方体为正方形，R1中的坐标立方体为一区间）。

通常，使用Aδ表示集合A的δ邻域，或称A的δ平行体，即Aδ表示与A中点的距离不大于δ的点的集合，即Aδ=｛x：存在A中的点y，使|x-y|≤δ｝。

2.集合的运算

1）并和交

由属于集A或者集B的点组成的集合称为集A与集B的并集，记为A∪B；由既属于集A又属于集B的点组成的集合称为集A与集B的交集，记为A∩B。更一般地，∪αAα表示任一集合类｛Aα｝的并集，即由至少属于Aα中之一的点组成的集合；而∩αAα表示集合类｛Aα｝的交集，即由属于所有Aα的点组成的集合。若集类中的任意两集合的交集为空集，则称该集类不相交。由属于集A但不属于集B的点组成的集合称为集A与集B的差集，记为A＼B。集Rn＼A称为集A的余集。

2）笛卡尔集

所有有序对｛（a，b）：a∈A，b∈B｝组成的集合称为集A与集B的乘积（笛卡尔）集，记为A×B，若A⊂Rn，B⊂Rm，则A×B⊂Rn+m。

3）向量和及数乘

若A和B为Rn的子集，λ为实数，定义集合的向量和为A+B=｛x+y：x∈A，y∈B｝，数乘为λA=｛λx：x∈A｝。

4）可数集

一个无穷集合A称为可数的，假定它的元素可以列成x1，x2，…的形式，集A的每一元素出现在列中的指定位置上；否则称集A为不可数的。集Z与集Q都是可数的，但R是不可数的。注意：可数个可数集仍是可数的。

5）上／下确界

若A为任意非空的实数集合，则集合A的上确界sup A是使得对所有的x∈A都有x≤m成立的最小数m；若这样的数m不存在，则其上确界为+∞。同样地，集A的下确界inf A是使得对所有的x∈A都有x≥m成立的最大数m；若这样的数不存在，则其下确界为-∞。集合的上确界与下确界直观地被认为是集合的最大值与最小值，但要注意到上确界与下确界不一定是集合中的元素，比如sup（0，1）=1，但是1∉（0，1）。用supx∈B（·）表示括号内的数集的上确界，这个数是由x取遍B中所有值而得到的。

6）集合的距离

3.集合的特性(www.xing528.com)

1）集合的收敛性

2）开（闭）集

若一个集包含它的边界便称其为闭的，若它不包含其边界的任何点则称其为开的。更严格地讲，如果对A中所有的点x，都有以x点为中心具有正半径的球B（x，r）含于集A中，则Rn的子集A称为开的。如果集A中的任一收敛序列｛xk｝收敛到Rn上的点x，而x在A中，则称集A为闭的。集∅与Rn被认为既是开的又是闭的。可以证明A为开集的充要条件是它的余集为闭的。任意多个开集的并集为开集，任意有限个开集的交集为开集；任意多个闭集的交集为闭集，任意有限个闭集的并集为闭集。假如存在以点x为中心的某个（小）球B（x，r）包含于A中，则集A称为点x的邻域。

3）集合的闭包

4）稠子集

5）紧致性

假如对任意覆盖A（即并集包含A）的开集类中都存在有限个开集仍覆盖A，则集A称为紧的。在数学上紧性是一个非常有用的性质，它能使满足一定条件的无穷多集合归并为有限多个。然而，就本书而言，把Rn中的紧子集看成是有界闭集即可。

6）连通性

Rn中的子集A称为连通的，假如不存在两个开集U与V，使得U∪V包含A，而A∩U与A∩V非空且不相交。直观地，如果集A只由一“整块”组成，则认为它是连通的。包含点x的最大连通集称为点x的连通部分，集A称为全不连通的，假如它的每一点的连通部分仅含这一点。对于集A中的任意两点x和y，如果存在不相交的开集U与V，使得x∈U，y∈V，且A⊂U∪V，则A集是全不连通的。