分形理论在实践中的应用

几何学是研究图形在其变换群作用下的不变性和不变量的学科。与欧氏几何学研究规则、光滑且具有几何对称性的图形不同，分形几何学（fractal geometry）研究具有不光滑、不规则和非几何对称性的对象。分形对象具有尺度上的对称性，或称标度不变性，因此，分形几何学是研究图形在标度变换群下不变性和不变量的学科。虽然分形理论在20世纪70年代才提出来，但经过40余年的发展，分形理论已成为非线性科学研究中一个十分活跃的分支，并已广泛用到自然科学和社会科学的几乎所有领域，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。

分形信号处理技术是分形理论与信号处理技术结合的产物，当前主要集中在迭代函数系统和多重分形分析［4-10］（包括分数维、多重分形谱等）两个方面，前者主要用于信号压缩编码和生成［910］，后者几乎涵盖了分形信号处理的所有其他方面。在实际应用中，分形信号理论已经广泛地应用于自然界信号建模、时间序列分析［4］、图像图形形态特征提取等领域［5］，并用于信号模式识别［11］、信号压缩编码［1214］、计算机图形生成［15］、信号滤波［16］、信号去噪［11］、图像分割［17］、图像纹理分析［18］、边缘检测［19］、内插逼近与计算机仿真和分形神经网络等［13-14］方面。

具有尺度特性和自相似性的非线性复杂系统广泛存在于现实世界之中，如复杂湍流、突变信号、网络数据流、地／海杂波、交通流、多相流数据、心电图／脑电图、DNA序列、物种分布以及金融数据等，这些信号都具有非平稳、统计自相似、多重分形、尺度不变、有限方差、幂律、重尾以及长程相关等特性［20-22］。如何对这类信号进行更精确的建模、更高效的分析与处理已经成为现代信号处理领域的研究热点［34］。经典Fourier变换方法及其相关理论大都针对平稳、高斯类信号，若将其应用到非平稳和自相似分形信号的分析与处理中将得不到最优效果［23-26］。由此，信号处理领域对具有自相似尺度特性的信号分析与处理方法提出了迫切需求，寻找更精准的信号模型、更有效的谱分析方法成为非线性分形信号处理中面临的重大和关键问题之一。随机分形理论和信号处理技术的出现为解决上述问题提供了新的契机。

近几十年，分形理论的迅速发展为其在各个领域的应用奠定了基础。由于分形理论对自然界中复杂物体的不规则程度及内在自相似性的详细描述，使得其在海杂波建模、复杂背景下的目标检测、复杂图像的边缘分割等方面有着非常广泛的应用，如图1.5所示。

图1.5　分形信号处理应用领域

海平面是一个较为复杂的、随时间动态变化的粗糙表面。它是大尺寸波浪与小尺度波纹相互叠加的结果，且这种变化具有近似的周期性。由于海平面的形成过程极不规则，且其中包含着两种大小不同的尺度结构，因此传统方法很难描述类似特性。分形就是为了表征不规则物体而提出的，且能反映其整体与局部的相似性关系，因此可以很好地描述动态变化的粗糙海平面。1990年，Jaggard等［27］首次利用零均值、带限的分形函数对一维粗糙海面进行建模。1996年，Franceschetti等［28］提出了基于带限Weierstrass分形函数的二维分形粗糙海面模型。随后，Chen等［29］将Pierson-Moskowitz谱引入到分形函数中对粗糙海面进行建模，并利用Kirchoff估计方法对该模型的散射场进行评估。2000年，Guo等［30］基于Kirchhoff相关理论，对粗糙表面的后向散射场所具有的分形特性进行了深入研究。2006年，王运华等［31］提出了改进的二维分形模型，与经典的二维分形模型相比，其优势在于能更好地反映海面的谱特性。2010年，Xu等［32］对传统的用于后向散射系数的双尺度模型进行了改进，添加了一个互补项用于考虑海浪的偏斜性，实际仿真结果表明其与实际雷达数据基本保持一致。2015年，Ning等［33］提出了基于多重分形谱的海杂波建模方法，它解决了原始加权组合建模的方法需要多个决策才能确定最佳模拟数据的问题。分形建模的最新研究可见参考文献［34］至［37］。(www.xing528.com)

由于海洋表面具有复杂、极不规则、随时间动态变化等特性，雷达回波相应地表现出非规则、非高斯、非线性特性。此时，传统的基于简单统计模型的海面目标检测算法并不完全适用，难以取得较为理想的检测效果。而分形理论可以很好地描述海杂波的统计自相似等复杂特性，并反映其内在产生机理。因此，利用分形理论进行海杂波背景下的舰船检测具有较为明显的优势。通常情况下，对于纯海杂波背景，我们可以把它视为一个良好的分形体，具有很好的分形特性。而当背景中出现舰船等人造目标时，在一定程度上会显著削弱这种特性，利用这种分形特征的差异性变化可以很好地区分是否存在目标。1993年，Lo等［38］将分形理论应用到实测海杂波中，通过仿真分析证实了海杂波在时域具有分形特性，并利用盒计数法计算出海杂波的单一分形维数。当海杂波中存在舰船等人造目标时，会对海杂波的分形特性造成影响，使其固有的分形维数减小，因此，可以根据人造目标和自然背景之间分形特性的差异来实现目标的检测。2002年，Chang等［39］提出了快速估算分形布朗运动的Hurst参数的有效方法，使得计算时间复杂度大大降低。2010年，Xu等［40］基于趋势波动分析理论提出一种利用联合分形特性检测目标的方法，并在实测的IPIX雷达数据集上得到了验证。2007年，Madanizadeh等［41］从盒计数法出发，通过计算目标距离单元与杂波距离单元盒维数的相关系数之间的差异性，从而实现对目标进行检测。2015年，Li等［42］提出了一种扩展分形分析方法，通过对多尺度Hurst参数进行分析研究发现，在特定的尺度范围内可以很好地检测海面浮动的小目标。同年，Fan［43］等人分析研究了海杂波在功率谱域的分形特性，由于自回归模型是一个线性可预测模型，因此从自回归谱估计模型中获得的海杂波功率谱相比于傅里叶变换分析具有明显的优势。作者基于自回归Hurst指数提出的检测方法，相比于目前已存在的分形方法和传统的恒虚警率方法，在海杂波背景下的微弱目标检测方面更加有效。2017年，Shen等［44］基于趋势波动分析理论分析研究了实测海杂波的分形特性，所提出的分形检测算子在较低的信杂比下也表现出了良好的检测效果。

随着对海杂波分形特性的深入研究以及分形理论自身的逐步发展，人们发现分形维数在分形体的描述上具有一定的局限性，难以全面描述复杂多变的海面，因此，多重分形应运而生。2002年，Gao等［45］分析了海杂波的幅度分布特性，并从理论上证明了实测海杂波具有多重分形特性，给出了海杂波的多重分形模型，为后续的研究奠定了基础。同年，Du等［46］通过构建多重分形谱维数的方法，将多重分形理论应用到海杂波背景下的微弱目标检测中，并取得了良好的检测效果。2005年，Hu等［47］通过分析海杂波在多个时间尺度上的多重分形行为，引入了基于多重分形分析的结构函数方法，并将其应用于不同海况条件下测得的392组海杂波数据集中进行验证。实验结果表明，所提出的算法具有计算复杂度低，易实现等优势。2006年，石志广等［48］通过对实测海杂波数据进行统计特性分析发现，其具有非高斯性和长时相关特性，且在较大的时间尺度上具有尺度不变性。基于以上分析，作者提出一种基于小波多重分形模型的海杂波建模与仿真方法，不仅计算量小，而且可以较好地模拟海杂波的多重分形特性，为海杂波的建模与仿真提供了新的思路。2010年，关键等［49］在多重分形的基础上，将多重分形关联理论应用到海杂波的微弱目标检测中。通过将多重分形关联谱作为检测特征量，使得该算法在实测海杂波下获得了良好的微弱目标检测能力。2013年，孙康等［50］将互相关和多重分形相结合，提出了q阶混合矩结构配分函数法。通过对实测海杂波分析研究，发现海杂波单元与目标单元各自的互相关多重分形特征差异较为明显。因此，利用这种特征量可以有效地检测出海杂波背景下的微弱目标。2015年，Fan等［51］利用多重分形谱的局部差异性检测微弱目标，仿真结果表明了通过加窗获取局部谱的方法的可行性。2016年，Li等［52］利用分形布朗运动模型从理论上证明了海杂波功率谱的多重分形特性，并通过仿真验证该结论。同年，Xi［53］等人基于QMSPF和WL方法对海杂波进行进一步分析，并提取相关特征用于目标检测。2017年，Li等［54］将经验模式分解与多重分形特征相结合用于海杂波背景下的目标检测，结果表明在低信噪比下优势明显。

此外，在图像处理领域，多重分形理论也有诸多应用，比如图像分割、图像降噪、图像纹理分析、特征提取、目标检测等。Peleg等［55］和Pentland［56］将分形理论引入图像处理，通过对自然表面纹理的研究，证明分形布朗运动模型能够很好地模拟自然表面。Chaudhuri等［57］和Fan等［58］通过对自然景观图像的研究发现其具有分形特性，而舰船等人造目标却只具有弱分形特性或不具有分形特性，因此可以利用它们之间分形特性的差异性来检测目标。1987年，Stein［59］首次将分形理论引入图像的目标检测，为分形理论在图像领域的发展拉开了序幕。随着分形理论自身的快速发展以及对其在图像领域的相关研究日益深入，单重分形、扩展分形、多重分形等分形理论在揭示物体的内在本质特性方面展现出了较大的优势，且在图像领域逐步得到应用。Espinal等［60］利用基于小波的分形维数对待检测目标进行特征提取，通过判断特征的差异性来检测目标，但文中并没有给出自适应窗口的最优值，需要手工去调整其大小。李艳等［61］基于盒函数定义，提出了一种改进的盒函数算法。仿真结果表明，该算法下目标位置处的特征值与背景的特征值差异明显，因而可以很好地将目标分割出来。Cherouat等［62］基于盒计数方法对海上双基地合成孔径雷达数据的分维数进行估计，在低信噪比的情况下也获得较好的效果。Kaplan［63］提出了一种扩展分形方法，其提取的特征不仅对图像对比度比较敏感，对图像大小同样敏感。Du等［46］提出了一种多重分形估计方法来描述区域的局部尺度性质。该算法在不同窗口大小和不同灰度等级情况下均表现良好。田微晴等［64］利用多重分形算法对光学图像和SAR图像分别进行分割，然后对分割结果进行特征组合，从而提高分割结果的精确度。Tarquis等［65］将多重分形理论运用到海面溢油检测中，并根据海面湍流结构预测其扩散位置，获得了良好的检测效果。2007年，Martino等［66］研究了SAR图像分辨率对其分形维数图的作用过程，并分析了不同表面空间尺度对结果的影响。而后他们又基于分形理论提出了SAR图像的局部距离斜率估计算法，并将其应用到去相干斑及地形测绘中去［67］。

近些年，分形及多重分形相关理论在SAR图像上已广泛应用。截至目前，国内外已经有越来越多的研究机构及高校参与这一课题研究，国内有国防科技大学、西安电子科技大学、武汉大学、南京理工大学、中科院电子所、电子科技大学等，国外有意大利的那不勒斯大学、美国的莱斯大学等。随着人工智能相关技术的兴起，目前有相当一部分学者深入研究，并将其应用于SAR图像相关研究［68-73］中，取得了较为理想的结果。