分形的实例展示

1.单分形和多分形

1）Cantor集

德国数学家康托尔（Cantor）在1883年构造出康托尔中间三分集，又称康托尔点集，简称康托尔集（Cantor set）。它将单位长度直线段［0，1］三等分，去掉中间的1／3线段，剩下两端的［0，1／3］和［2／3，1］两个线段；再将剩下的这两个线段分别三等分，分别去掉各自中间的1／3线段，剩下［0，1／9］、［2／9，1／3］、［2／3，7／9］和［8／9，1］四个线段，照此无限分割下去。在无限次分割过程中，每次分割所形成的线段数越来越多，而线段长度越来越小，在极限情况下，所有保留的部分就构成了Cantor集C，如图1.1所示。

图1.1　Cantor集的生成过程

2）Koch曲线

图1.2　Koch曲线的生成过程

科赫曲线（Koch curve）是分形几何图形中最典型的一个例子，它是由瑞典数学家科赫（Koch）于1904年提出的。Koch曲线的生成过程非常简单，同Cantor集一样，它以一条单位长度线段为初始图形，通过反复迭代而得到。第一步，对一单位长度直线段K0进行三等分，将中间的一段用两条边长均为1／3的线段替换，这两条线段与被替换的中间线段构成一个等边三角形，替换以后得到K1；第二步，再对K1上每一条直线段重复第一步的操作得到K2；如此进行下去直到无穷，便得到Koch曲线K+∞，如图1.2所示。它是处处连续但又处处不可微分、长度无限的不光滑分形曲线。Koch曲线在每次替换之后，都构造出4条子线段，即N=4，而每一条线段的长度是原线段的三分之一，即r=1／3，因此Koch曲线的分形维数为Ds=1.261 86。

3）Cantor尘埃

Cantor尘埃（Cantor dust）的构造是Cantor集的延伸，它以单位边长的正方形为初始图形，将正方形的每条边进行三等分划分，如此得到9个子方块，然后剔除位于四边中部和正方形中心部位的5个子方块，留下位于四角部位的4个子方块；再对剩下的这4个子方块照此依次分割下去。最后形成的图案细小如灰尘，因此称作Cantor尘埃。

Cantor尘埃生成过程中的每一步分割之后，原来的正方形都被4个新的子正方形所取代，即N=4，子方块与原来方块的边长比为r=1／3，因此它的分形维数Ds=1.261 86，如图1.3所示。

图1.3　Cantor尘埃的生成过程

（a）初始图形；（b）第一次分割后；（c）第二次分割后；（d）多次分割后(www.xing528.com)

2.统计／随机分形

上述规则分形，如Cantor集、Koch曲线和Cantor尘埃等，均为具有规则几何结构和迭代函数的集合。事实上，在有限尺度上随机迭代的分形结构具有更强适应性和对自然场景描述的能力。例如，在Koch曲线的构造过程中，如果改用掷硬币的方法来决定每次迭代时新的部分是位于被去掉部分的“上边”或“下边”，经过若干步迭代之后，可以得到一个看起来相当不规则的曲线，但它依然保留了Koch曲线的某些特征。同样，三分Cantor集的构造也可以用几种不同的方法随机化，每次把线段分成三部分，但不是总去掉中间的一段，而是用掷骰子的方法来决定去掉哪一部分。另外，也可以在每步构造中随机地选择区间的长度，所以在第k步可得到2k个不同长度的区间，最终得到一个看起来很不规则的分形。

然而，这种“随机分形”就没有了它们相对应的规则分形的自相似性，但它们不均匀的外表却通常与自然现象（如海岸线、地形表面或云彩的边界）相当接近。随机分形可能在所有的尺度上都具有随机性，所以在构造过程中的每一步都应引进随机成分。通过把随机变化的大小与尺度联系起来，可以使这种分形有下面意义上的统计自相似性（statistically self-similar）：把它的某一小部分放大以后，与原来的整体具有相同的统计分布。与规则分形和规则自相似集的确定自相似性相对应，我们称随机分形具有统计分布意义上的自相似性。

3.自然界的分形

分形几何被称为是大自然的几何学，沃尔夫奖（Wolf Prize）在颁发给分形之父Mandelbrot的评语上写道：“分形改变了我们对世界的看法。”在Mandelbrot的经典著作《无处不在的分形》（Fractal Everywhere）中列举了大量具有典型分形特征的自然景观和自然现象，甚至在好莱坞一度掀起了分形艺术之风。此外，哈尔滨理工大学的孙博文于1999年创办“分形频道”网站，采用计算仿真的方法绘制和搜集了大量精美的分形艺术作品，图1.4列出了自然界中的分形图，从山脉分布、闪电、肾脏血管分布、神经元到各种动植物的分布，均具有广义的随机分形特征。

图1.4　自然界中的分形

值得一提的是，IEEE终身会士陈关荣教授在《分形的故事》中引用了一幅绘制于1250年的“上帝计测宇宙”图，非常像一个Mandelbrot分形集，并称“作为中世纪作品画成这样的效果，已经是非常不错了，很难想象会是别的什么。”