深入探索分形的本质特征

分形理论的研究对象是由非线性系统产生的不光滑和不可微的几何形体。有关分形的概念，最早是由Hausdorff于1919年引入，后经Besicovitch于1935年和Mandelbrot于1975年改进和发展而来的。Mandelbrot曾对分形做了一个常识性的定量刻画，认为分形是Hausdorff维数严格大于其拓扑维数的集合，但这种定义不够全面和精确。Falconer认为，对分形的定义可以用生物学中的对“生命”定义的方法。“生命”很难定义，但可以给出一系列生命对象的特征，对分形似乎也易于给出一系列特征性质，当集合具备这些性质时就可以认为是分形。按这种观点，人们将分形看成是满足某些性质的一类集合。

针对分形的定义，目前还没有一个让各方都满意的阐述，但在数学上大家都认为分形有以下几个特点：①具有精细结构，即有任意小尺度的细节；②通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或者统计意义上的自相似性；③一般它的分形维数大于它的拓扑维数，难以用传统的几何语言描述；④可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代产生。

第①、②两项说明分形在结构上的内在规律性：自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息；第③项说明了分形的复杂性；第④项则说明了分形的生成机制。

分形可由递归和迭代生成，并用于自然界中复杂形态的模拟。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面，而是把它看成一个整体。平面上决定一条直线或圆锥曲线只需数个条件，那么，决定一片蕨叶需要多少条件？如果把蕨叶看成是由线段拼合而成，那么确定蕨叶的条件数将相当庞大，然而如果以分形的眼光来看这片蕨叶，可认为蕨叶是一个简单的迭代函数系统的输出结果，而该系统的描述只需要极少的几个参数，这说明用特定的分形拟合蕨叶比用折线拟合蕨叶更为有效。(www.xing528.com)

Mandelbrot在《自然界的分形几何》一书中写道：“云不只是球体，山不只是圆锥，海岸线不是圆形，树皮不是那么光滑，闪电传播的路径更不是直线。它们是什么呢？它们都是简单而又复杂的‘分形’……”分形几何的研究对象普遍存在于自然界中，因此分形几何学又称为“大自然的几何学”。数学家们研究发现，大自然会出现分形现象是符合特定原理的，比如，植物采取分形的形状有利于占用最小的空间以获取最多的阳光和空气。

几何学是研究图形在其变换群作用下不变性和不变量的学科。欧氏几何学研究的图形都是规则而光滑的，具有几何对称性；分形几何学研究的图形非常不规则和不光滑，已经失去了几何对称性。但是，在不同的尺度下进行观察时，分形却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。因此分形几何学是研究图形在标度变换群下不变性和不变量的学科。

Mandelbrot认为分形有3大要素：形态（form）、随机性（chance）和维数（dimension）。第一，分形具有支离破碎、参差不齐和凹凸不平的不规则形状。第二，我们发现自然界中的海岸线与用来描述它的著名的科赫分形曲线（Koch curve）之间仍然有很大的不同，而这种差异是由于海岸线受到自然界随机因素的作用而产生的；同时，Barnsely发现可通过一组给定规则的随机迭代得到分形，因此随机性或者机遇仅仅是工具，而结果却是确定的。第三，分形的维数可以是分数，称为分维。维数是几何对象的一个重要特征量。通常，维数的概念指的是为了确定几何对象中一个点的位置所需要的独立坐标的数目，在这种意义下，它是一个整数。由于这种定义具有几何对象在同胚变换下的不变性，因此称为拓扑维。1919年，Hausdorff提出维数不必限于整数，而可以是实数的概念，这种维数称为Hausdorff维。