平面上点和直线的投影和最大斜度线

1.平面上取点和直线

点和直线在平面上的几何条件：

（1）点在平面上，则该点必定在这个平面上的一条直线上。

（2）直线在平面上，则直线必定通过该平面上的两个点，或通过该平面上的一个点且平行于该平面上的另一直线。

根据上述条件，如图3-24所示，点D和直线DE位于相交直线AB、BC所确定的ABC上。

图3-24　平面上的点和直线

（a）点在平面内的直线上；（b）直线通过平面内的两点；（c）通过平面内一点且平行面内一条直线

【例3-9】　已知△ABC，如图3-25（a）所示。判别K点是否在平面上；已知平面上一点E的正面投影e′，作出其水平投影e。

图3-25　平面上的点

【解】　（1）连接a′k′并延长与b′c′交于f′，由a′f′求出其水平投影af，则AF是ABC上的一条直线，如果K点在AF上，则k′、k应分别在a′f′和af。作图可知k在af上，所以K点在△ABC上。

（2）连接c′、e′与a′b′交于g′，由c′g′求出其水平投影cg，则CG面上的一条直线。因点E在平面上，则必在平面中的直线CG上，过e′作投影连线与cg延长线的交点e即所求E点的水平投影。

图3-26　平面上的投影面平行线

2.平面上的特殊位置直线

平面上有各种不同位置的直线，它们对投影面的倾角大小各不相同，其中有两种位置直线的倾角较特殊，一种是倾角最小（等于零度），另一种是倾角最大。前者即平面上的投影面平行线，后者称平面上的最大斜度线。

（1）平面上的投影面平行线。如图3-26所示，在△ABC平面上作水平线和正平线。如过点A在平面上作一水平线AD，可先过a′作a′d′//OX轴，并与b′c′交于d′，由d′在bc上作出d，连接ad，a′d′和ad即平面上水平线AD的两面投影。

如过点C在平面上作一正平线CE，可先过c作ce//OX轴，并与ab交于e，由e在a′b′上作出e′，连接c′e′，c′e′和ce即平面上正平线CE的两面投影。

【例3-10】　如图3-27（a）所示，已知△ABC的两面投影，在平面上取一点K，使K点在H面之上10mm，在V面之前15mm。(www.xing528.com)

【解】　水平线上各点与H面距离相等，正平线上各点与V面距离相等。因此，只需在平面△ABC上作一条在H面上方10mm的水平线和作一条在V面前方15mm的正平线，这两条直线的交点即所求K点。注意：同一平面中各水平线互相平行，则各正平线也互相平行。作图过程如图3-27（b）所示。

（1）在OX轴上方10mm作1′2′//OX轴，使与a′b′交于点1′，与b′c′交于点2′，过点1′作投影连线与ab交于点1。过点l作12//ac，1′2′和12即平面上距H面为10mm的水平线。

（2）在OX轴下方15mm作34//OX轴，34为平面上在V面之前15mm的正平线的水平投影。得12与34的交点k，过k作投影连线与1′2′交于k′，k′、k即所求点K的两面投影。

图3-27　在△ABC上取两投影面为已知距离点K

（2）平面上的最大斜度线。平面上对某一投影面成倾角最大的直线，称为平面上对该投影面的最大斜度线。因此，平面上的最大斜度线可分为对H面的最大斜度线、对V面的最大斜度线和对W面的最大斜度线三种。可以证明，平面上对某投影面的最大斜度线垂直于平面上对该投影面的平行线。

图3-28　平面上的最大斜度线图

如图3-28所示，直线MN是平面P上的一条水平线，直线AB是平面P上对H面的最大斜度线，AB⊥MN（也必⊥PH，PH为P平面与A平面的交线），aB⊥PH。如过点A在平面P上再任作一直线AB1，假定AB对H面的倾角为α，AB1对H面的倾角为α1，则在直角三角形△ABa中sinα＝Aa/AB，而在直角三角形△AB1α中，sinα1＝Aa/AB1，又由于在直角三角形△ABB1中，AB⊥PH为一直角边，AB1为斜边，故AB1＞AB，所以α＞α1。

由此可知，平面上对H面的最大斜度线必定与平面内的水平线方向垂直。

从图3-28中也可见，△ABa垂直于P平面与H面的交线PH。因此∠ABa即P、H两平面的两面角。由此可知平面P对H面的倾角等于平面P上对H面的最大斜度线与H面的倾角。

同样可以证明，平面上对V面的最大斜度线垂直于该平面内的正平线，其与V面的倾角等于该平面对V面的倾角。平面上对W面的最大斜度线垂直于该平面内的侧平线，其与W面的倾角等于该平面对W面的倾角。

【例3-11】　求平面△ABC对V面的倾角β。

图3-29　求平面△ABC对V面的倾角

【解】　如图3-29所示，平面对V面的倾角，即平面上对V面的最大斜度线对V面的倾角。

（1）先过平面上任一点，如C点，作平面上的正平线cd、c′d′的两面投影。

（2）过B点的正面投影b′作b′e′⊥c′d′，再作出be，BE即平面上过B点的对V面最大斜度线。

（3）用直角三角形法求出BE对V面的倾角β即所求△ABC对V面的倾角。