求解一般位置直线的长度和倾角

一般位置直线的三个投影不能直接反映线段的实长和倾角，但在实际工作中经常要求一般位置线段的实长与倾角。求一般位置直线的实长和倾角的基本方法是直角三角形法。

1.直角三角形法的边角关系

一般位置直线的直角三角形法的边角关系见表3-3。

表3-3　直角三角形法的边角关系

由表3-3可以看出，构成各直角三角形有以下四个要素：

（1）直线的投影（直角边）。

（2）坐标差（直角边）。

（3）实长（斜边）。

（4）对投影面的倾角（投影与实长的夹角）。

2.直角三角形法的作图过程

如图3-14（a）所示，在H、V两面体系中有一般位置直线AB及其两面投影ab和a′b′，AB延长与ab所成夹角α，即AB对H面的倾角。过点A作AB0∥ab，因Bb⊥ab，所以AB0⊥BB0，△ABB0为直角三角形，AB0＝ab，BB0＝ΔzAB。同理，AB对V面的倾角作法相同。(www.xing528.com)

在投影图中求作直线的实长及倾角如图3-14（b）所示。过点a′和b分别作OX轴的平行线求出A、B两点的Y、Z坐标差值即Δy、Δz，过点a′和b分别作AB直线的正面投影a′b′、水平投影ab的垂线，并在垂线分别截取a0a′＝Δy，bb0＝Δz，然后连接a0b′、ab0，而a0b′、ab0即直线AB的实长，正面投影、水平投影与其实长的夹角即直线对投影面的倾角β、α。

图3-14　用直角三角形法求作一般位置直线的实长及倾角

（a）立体图；（b）作图过程和作图结果

【例3-6】　如图3-15（a）所示，已知直线CD的两面投影，求CD对投影面V、W的倾角β、γ，并在CD上取一点T，T与C的真实距离为15mm，作点T的投影。

图3-15　求作CD的实长及与投影面倾角

（a）已知条件；（b）作图过程和作图结果

【解】　用V、W两面体系中直角三角形法求解。作图步骤如图3-15（b）所示。

（1）过点d′、d″作OZ轴的平行线求出C、D两点的X、Y坐标差Δx、Δy，分别过点c′、c″作c′d′、c″d″的垂线，截取c0c′＝Δy、c1c″＝Δx，连接c0d′、c1d″（两者即CD实长），c′d′与c0d′、c″d″与c1d″所得的夹角为CD对V、W的倾角β、γ。

（2）在用正面投影求出的CD实长c0d′上截取c0t0＝15mm，过t0作c′d′的垂线交c′d′于t′，再过t′作OZ轴的垂线延长交c″d″得T的侧面投影t″。

【提示】　对于一般位置直线来说，要求一直线对某投影面的倾角，就以直线在该投影面内的投影为一直角边，以直线两端点到该投影面的距离差为另一直角边，构建直角三角形；直角三角形的斜边即所求一般位置直线的实长，斜边与该投影面投影的夹角即所求一般位置直线对该投影面的倾角。