点的双面投影优化：如何计算点的两面投影？

（1）点的两个投影能惟一地确定该点的空间位置。

如图2-9所示，首先建立两个互相垂直的投影面H 及V，其间有一空间点A，它向投影平面H 投影后得投影a，向投影平面V 投影后得投影a′，投射线Aa及Aa′是一对相交线，故处于同一平面内。

图2-9　点的两面投影

图2-10　两个投影能惟一确定空间位置

从图2-10（a）可知，若移去空间点A，由点的两个投影a及a′就能确定该点的空间位置。另外，由于两个投影平面是相互垂直的，可在其上建立笛卡尔坐标系，如图2-10（b）所示。已知a，即已知x、y两个坐标。已知a′，即已知x、z两个坐标。因此，已知空间点A的两个投影a及a′，即确定了空间点A的x、y及z的三个坐标，也就是惟一地确定该点的空间位置。

如图2-11（a）所示，水平放置的投影面称为水平投影面，用H 表示。与水平投影面垂直的投影面称为正立投影面，用V 表示。两投影面的交线称为投影轴，用OX表示。空间点用大写字母（如A、B、…）表示。在水平投影面上的投影称为水平投影，用相应的小写字母（如a、b、…）表示。在正立投影面上的投影称为正面投影，用相应小写字母加撇（如a′、b′、…）表示。(www.xing528.com)

图2-11（a）是一直观图，为使两个投影a和a′画在同一平面图纸上，规定将H 面绕OX 轴按图示箭头方向旋转90°，使它与V 面重合。这样就得到如图2-11（b）所示的点的两面投影图。投影面可以认为是任意大的，通常在投影图上不画出它们的范围，如图2-11（c）所示，投影图上细实线aa′称为投影连线。

图2-11　两面投影图的画法

（a）两面投影体系；（b）两面投影图；（c）不画投影面范围

（2）两面投影图的性质。

1）一点的两个投影连线垂直于投影轴（aa′⊥OX），且aa′到点O 的距离反映x坐标。

2）一点的水平投影到OX轴的距离（aaX）等于该点到V 面的距离（Aa′），都反映y坐标（aaX=Aa′=y）；其正面投影到OX 轴的距离（a′aX）等于该点到H 面的距离（Aa），都反映z′坐标（a′aX=Aa=z）。