对流换热过程的数学描述详解

对流换热过程涉及流体的运动和热传递两个方面，因此要全面研究这一过程就要建立对流换热的微分方程组。因为涉及流体的运动，就必须遵循流体运动的基本定律，即质量守恒定律和动量定律。所以，这一微分方程组应包括基于质量守恒的连续性微分方程和基于动量定律的动量微分方程。又因为涉及热传递，就必须遵循能量守恒定律。所以，这一微分方程组还应包括基于能量守恒定律的能量微分方程。将这三个基本的微分方程联立求解，原则上可以解得对流换热过程中，流体内部的速度场和温度场。最后，从已求得的温度场，利用换热微分方程式（15-5）即可求出对流换热的换热系数。

总之，对流换热微分方程组应包括：

（1）基于质量守恒定律的连续性微分方程；

（2）基于动量定律的动量微分方程；

（3）基于能量守恒定律的能量微分方程；

（4）换热微分方程。

下面以常物性、不可压缩流体的二维稳定流动为例，扼要介绍对流换热微分方程组。

一、连续性微分方程

连续流动的流体，应遵循质量守恒定律。根据质量守恒定律，由流体力学可知，不可压缩流体二维稳定流动的连续性微分方程为

二、动量微分方程

动量微分方程描述流体的速度场，它是从流动的流体应遵循的动量定律而导出的。从流体力学可知，常物性、不可压缩流体二维稳定流动的动量微分方程，即纳维尔-斯托克斯方程为

式中，X，Y为单位质量力在x，y坐标方向上的投影。当质量力只有重力时，X＝gx，Y＝gy。对于受迫流动时，一般可以忽略重力的作用；对于自由流动则要计入浮升力的作用。

三、能量微分方程(www.xing528.com)

能量微分方程描述流体的温度场，它可以从能量守恒定律出发分析推导得出。由于这一推导的全过程很复杂，要占很长的篇幅，因此，此处只给出常物性、不可压缩流体二维稳定流动的能量方程

详细的推导过程可参阅有关文献。

四、对流换热微分方程组

综上所示，描述常物性、不可压缩流体二维稳定流动的对流换热微分方程组为

式（15-9）方程组中，x，y是自变量；μ，ρ，cp，λ是流体的热物性参数；X，Y为单位质量力在两坐标轴上的投影；wx，wy，p，t，αx是待求的未知量。由于未知量有5个，方程式也有5个，因而方程组是封闭的。对这一完整的微分方程组联立求解，原则上可以最后求解出换热系数。但由于这是一个偏微分方程组，尤其其中的动量微分方程是复杂的非线性偏微分方程，使得数学求解遇到非常大的困难。这个问题直到1904年德国科学家普朗特提出著名的边界层的概念后才得以初步解决。后来，波尔豪森又把边界层的概念推广应用于对流换热问题，提出了热边界层的概念，使对流换热问题的分析求解得到了很大发展。利用边界层的概念，对动量微分方程和能量微分方程进行合理的简化，得到边界层的对流换热微分方程组，使对流换热问题的数学分析解易于求得。

五、对流换热过程的单值性条件

对流换热微分方程组描述的是对流换热过程的普遍规律。要从无数个这类现象中区别出某一特定的对流换热过程，还需给出具体的单值性条件。单值性条件就是微分方程组的定解条件，它包括下列各项：

（1）几何条件——换热物体的形状和尺寸；

（2）物性条件——流体的种类以及热物性参数；

（3）边界条件——流体边界面上的速度和温度等；

（4）时间条件——过程起始时刻的速度和温度等，若为稳定过程就没有时间条件。