推导平壁导热微分方程及计算公式

非稳态导热问题的求解远比稳态导热复杂，所以在一般工程中，如果只是近似地估算导热量，可采用平均温度值，并按稳态导热问题来求解。通常情况下，如果没有特别指明为非稳态工况，一般所指的皆为稳态工况的热传递问题。下面用导热微分方程式推导出单层平壁和多层平壁的导热计算公式。

一、单层平壁

若平壁的长和宽都比厚度δ大得多，并且其两侧表面分别保持着温度t1和t2，则热量沿着壁面的法线方向传导，即温度只随垂直于壁面的x轴变化，这是一维的温度场。在图14-3中，离左侧壁面x处，厚度为dx薄层的温差为dt。根据傅里叶定律，通过该薄层的导热热流密度

假定平壁的导热系数为常数，由无内热源、常物性一维温度场的稳态导热微分方程式（14-11），即

图14-3 单层平壁导热

连续积分两次，可得通解为

由边界条件

可以确定

从而确定平壁内的温度分布为

由于δ，t1，t2都是定值，所以可知平壁内温度为直线分布。

将式（14-13）代入傅里叶定律式（a）中，可得

式中：Δt＝t1－t2——平壁两侧温差，称为温压；

rλ＝δ/λ——平壁单位面积的导热热阻，它与Rλ的关系为(www.xing528.com)

二、多层平壁

由若干层不同材料所组成的复合壁称为多层壁。图14-4所示为三种不同材料组成的三层平壁，各层厚度分别为δ1，δ2，δ3，导热系数分别为λ1，λ2，λ3，两侧壁面的温度分别为t1和t4。假定层与层紧贴在一起，且不计层间的接触热阻，则其温度变化线为三段直线所组成的折线。

由单层平壁的热流密度计算式（14-14），可以写出各层平壁的热流密度为

图14-4 多层平壁导热

移项可得

由于是稳态工况，则有q1＝q2＝q3＝q，将以上三式相加可得

即

式中，Δt为多层平壁的总温差，Δt＝t1－t4；（δ1/λ1＋δ2/λ2＋δ3/λ3）为多层平壁的导热总热阻，与串联电路的总电阻为分电阻之和相类似，多层平壁的导热总热阻亦是各层热阻ri＝δi/λi之和。

例14-1 如例13-1题所述，壶内底部结有1mm厚的水垢，其导热系数λ＝0.5W/（m K），问此时壶底外壁的温度为多少？

解 结有水垢后总导热热阻增大为

设壶内结有水垢后，热流量Q不变。按例13-1的计算公式得

比较两题结论，由例13-1题求得壶底壁温为64.3℃，而当壶底结有水垢后，壶底壁温显著上升到82℃。