如何求解导热微分方程及定解条件？

物体在被加热或冷却过程中，物体中各点的温度随时间而改变；物体在被周期性加热和冷却过程中，物体中各点的温度变化也具有周期性。上述两种过程都属于非稳态导热过程。若使物体的一侧被加热而另一侧被冷却，并使物体中各点的温度不随时间而变化，这就是稳态导热过程。

导热理论的任务在于确定任一时刻物体中各点的温度。用数学语言来说，就是要求出物体中的温度场，即t＝f（x，y，z，τ）。

导热微分方程是描述物体中任一点的温度与其空间坐标和时间的关系。利用物体的边界条件和时间条件，对导热微分方程积分，便可求得该物体温度场的数学解。为了推导导热微分方程，在固体内取一个平行六面体的微元体积dV＝dx·dy·dz。假设该固体是均质的，而且在各方向都是同性的。如图14-2所示，在dτ时间内，在x，y，z各方向导入该微元体积的热量分别为

图14-2 推导导热微分方程所用的微元体

同理，在dτ时间内，由此微元体积导出的热量为

如果在物体的微元体内有放热热源（例如放热的化学反应、通电所发出的热能）或吸热热源（例如融解过程、吸热化学反应等），并知其单位时间内单位体积的放热量为q′J/（m3·s）（放热q′为正；吸热q′为负），则此微元体在dτ时间内的放热量为

按照能量守恒定律，在dτ时间内，导入该微元体的热量与从中导出的热量之差，加上该微元体在dτ时间内的放热量，应等于该微元体在dτ时间热力学能（即内能）的增加量，即

（热力学能的变化）＝（由导热所增加的热量）＋（内热源放出的热）

因此有

微元体在dt时间内热力学能的增加量可写为

式中：c——物体的比热容，J/（kg·K）；

ρ——物体的密度，kg/m3

将式（a）、（b）、（c）、（e）代入式（d），消去dx·dy·dz·dt后可得

这是直角坐标系下、三维非稳态导热微分方程的一般形式。(www.xing528.com)

（1）对于均匀的且在各向同性的物体，不计λ值随温度的变化，λ为常量。式（14-5）可简化为

式中，λ/cρ用a表示，称为导温系数（是一个物性参数），于是上式可写为

此式为具有内热源、常物性三维温度场的非稳态导热微分方程。

（2）无内热源、常物性三维温度场的非稳态导热微分方程为

（3）有内热源、常物性三维温度场的稳态导热微分方程为

（4）无内热源、常物性三维温度场的稳态导热微分方程为

（5）无内热源、常物性一维温度场的非稳态导热微分方程为

（6）无内热源、常物性一维温度场的稳态导热微分方程为

这是最简单的导热微分方程。

导温系数a也称为热扩散系数或热扩散率，它表征着物体在被加热或冷却时其内部各点温度趋于均匀一致的能力。a大的物体被加热时，各处温度能较快地趋于均匀一致。例如，橡木的a＝0.012×10﹣5m2/s，铜的a＝11.2×10﹣5m2/s。因此将尺寸一样的铜棒和橡木棒插入沸水中，持铜棒的手已感到很烫，而持橡木棒的手还没有感到温度上升。

导热微分方程式是描述导热过程共性的数学表达式，求解导热问题，实质上归结为对导热微分方程式的求解。为了获得某一具体导热问题的温度分布，还必须给出用以表征该特定问题的一些特定条件。这些使微分方程获得适合某一特定问题的解的特定条件，称为定解条件。对非稳态导热问题，定解条件有两个方面：一个是给出初始时刻温度分布的初始条件；另一个是给出导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。导热微分方程及定解条件构成了一个具体导热问题的完整的数学描述。对于稳态导热问题，定解条件没有初始条件，只有边界条件。

常见的边界条件分为三类：给定边界上的温度值，称为第一类边界条件；给定边界上的热流密度值，称为第二类边界条件；给定边界上物体与周围流体间的换热系数及周围流体的温度，称为第三类边界条件。

最后需要说明的是导热微分方程的适用范围。对于一般的工程技术中发生的非稳态导热问题，热流密度一般不是很高，并且过程的持续时间又足够长，所以傅里叶定律式（14-4）和非稳态导热微分方程式（14-5）是完全适用的。但在近年来发展起来的高新技术中，有时会遇到在极短时间（如10﹣8～10﹣10s）内产生极大的热流密度的热量传递现象，如激光加工过程。对于这种在极短时间间隔（称为微尺度时间）内发生在固体中的热量传递现象，不能再用如式（14-4）的导热定律和如式（14-5）的导热微分方程来描述。另外，对于极低温度（接近与0K）时的导热问题，式（14-5）等也不再适用。这类导热问题称为非傅里叶导热过程。