气体和蒸气在喷管中的流速和质量流量分析

一、流速

将开口系统稳定流动能量方程

应用在喷管中作绝热流动的工质，因为q＝0，ws＝0，所以喷管出口流速可写成

由于喷管的进口流速通常远小于出口流速＜＜，可以略去，这时

式中，wg2的单位为m/s；Δh的单位为J/kg。若Δh采用工程上常用的单位kJ/kg，则式（8-8）可写成

附图1水蒸气h-s图左上角的计算标尺即用式（8-9）求得。式（8-7）、（8-8）以及（8-9）适用于任意工质的可逆或不可逆绝热过程。

对于理想气体，因为h1－h2＝cp（Tt－T2），所以

由迈耶方程cp－cv＝R 和 κ＝c p/c V，可得

将上式代入式（8-10a）可得

式（8-10a）和（8-10b）适用于理想气体的可逆或不可逆绝热过程。

将理想气体的状态方程pυ＝RT和可逆绝热过程中温度和压力之间的关系式T2/T1＝，代入式（8-10b），可得

式（8-10c）仅适用于理想气体的可逆绝热过程。由此式可知，喷管的出口流速由气体的种类、进口初参数p1和υ1以及出口压力p2而定。如κ、p1和υ1给定，当p2/p1＝1，即进出口压力相等时，wg2＝0；当p2/p1＝0，即出口处为绝对真空时，出口流速达到最大值，即

实际上，最大速度是不可能达到的，因为当p2趋近于零时，根据绝热过程方程，＝， υ2趋于无穷大，这就要求喷管出口截面面积为无穷大，而这是办不到的。

例8-1 燃气以质量流量qm＝1kg/s流经一喷管。在喷管入口截面处的压力、温度和流速分别为p1＝0.392MPa，t1＝200℃，wg1＝20m/s，在喷管出口截面处压力为p2＝0.196 MPa。设流动工质为理想气体，且cp＝1kJ/（kg·K），cv＝0.71kJ/（kg·K），流动过程为可逆绝热过程。试求喷管出口截面处的温度T2、流速wg2、比体积υ2和截面面积A2。

解 （1）理想气体可逆绝热过程的参数间关系为

已知，则

（2）按式（8-7）可求得

若略去项，按式（8-8）得

可见略去相差无几。

（3）求比体积υ2

（4）按式（3-15）求得

例8-2 求上例中喷管进口截面处和出口截面处的音速

解由式（8-2）及理想气体状态方程pυ＝RT得

喷管出口截面处当地音速为

由计算可见，由于在进口处和出口处的气体温度不同，所以其音速也不同。在例8-1中，进口流速wgt＝20m/s，小于当地音速c1＝438.22m/s，故为亚音速；而出口流速wg2＝412.8m/s，大于当地音速c2＝396.90m/s，故为超音速。(www.xing528.com)

二、临界速度和临界压力比

在沿喷管的可逆绝热流动中，气流速度等于当地音速的截面称为“临界截面”。临界截面上的压力、温度和速度分别称为临界压力pcr、临界温度Tcr和临界速度wg，cr。上节已指出，缩放喷管中的最小截面为临界截面。临界压力pcr与进口压力p1之比称为“临界压力比”，用符号βcr＝pcr/p1表示。

临界压力比可根据wg，cr＝c，由式（8-2）、（8-10c）得

将上式两边取平方并用κRT1除之，得

理想气体可逆绝热过程

将式（b）代入式（a），得

于是，可解得临界压力比为

可见，βcr仅与气体的种类有关。上式虽是根据理想气体的有关公式推导出来的，但是，上节已提及，如以pυκ＝常数表示水蒸气的可逆绝热过程，则式（8-11）也适用于水蒸气。因此，对气态工质有

在气体和蒸气沿喷管的流动中，临界压力比是一个很重要的参数，根据它可以算出气流的压力下降到多少时（约为初压的一半），流速恰好等于当地音速，它还是将气流划分为亚音速流动或超音流动的分界线，即

因此，临界压力比是从力学角度提出的，用于判断流动特征（亚音速、临界速度和超音速流动）的参数。

对渐缩喷管，当背压p′2大于pcr时流动为亚音速流动，随着背压p′2逐渐降低，出口流速逐渐增大，压力p2在数值上始终与背压p′2相等，当p′2＝pcr时，出口流速达到音速。当背压p2＜pcr时，出口截面上压力p2仍等于pcr。因为如再继续膨胀下去，流速将继续增加至超音速，此时气流截面必将渐扩，而在渐缩喷管中气流不能流到截面之外，所以不能继续膨胀，故此时气流在喷管内只能膨胀到pcr为止，出口速度也只能达到当地音速为止，而不能再增加。

根据式（b）和式（8-11），可求得临界速度为

可见，临界速度仅由气体的种类和初参数确定。

三、质量流量

对于一元稳定流动，喷管中各截面上的质量流量相等，因此，它可根据任一截面上的流速、比体积和截面面积，用连续性方程计算，即

工程上，通常都是按喷管最小截面上的有关参数计算质量流量的。

对于渐缩喷管，出口截面为最小截面，因此质量流量为

对于理想气体，其比体积与压力的关系为

将上式及式（8-10c）代入式（c），可得

由上式可见，在k，p1，υ1和A2保持不变的情况下，质量流量随压力比p2/p1而变。图8-3示出由qm与p2/p1的函数关系而绘成的曲线。由图可见：当p2/p1＝1时，qm＝0，即喷管的进、出口压力相等，气体不流动，图中以A点表示；当p2/p1从1开始逐渐降低时，qm逐渐增加；当p2/pt＝βcr时，qm增加至极大值，即压力比为临界压力比时，质量流量达到最大值，图中以点B表示；当p2/p1进一步降低时，由式（8-13），单纯从数字角度来看qm将沿虚线BO下降。但是，对于渐缩喷管而言，由于气流在其中的膨胀受到限制，使气流的出口与进口压力之比p2/p1不可能小于临界压力比，即对于渐缩喷管，出口截面上的压力p2只能达到pcr，p2＜pcr的情况是不存在的。因而线BO是没有意义的，故用虚线表示。此时已达最大流量，虽然出口外界的环境压力p′2可以低于pcr，但喷管出口截面上的压力仍保持pcr不变，仍为最大流量，因此，实际流量曲线是按ABC变化的。

对于缩放喷管，临界截面Amin为最小截面，因此质量流量为

对于理想气体，根据式（d）及临界压力比βcr的表达式（8-13），可得

将上式及式（8-12）代入式（e），可得

图8-3 流量qm随p2/p1的变化曲线