喷管和扩压管截面变化规律分析

前面已经指出：喷管是一种使流动工质加速增加其动能的管道；而扩压管则是使工质增压即增加压力能的管道。它们具有一个共同的特点，即都与外界既没有热交换，也没有轴功交换。为了完成它们各自的任务，喷管和扩压管应做成什么形状，即截面变化规律如何，这是首先要讨论的问题。以气体和蒸气在喷管中和扩压管中作可逆绝热（等熵）流动而言，气流流通截面变化规律是流动工质要同时满足连续性方程、可逆流动方程、可逆绝热方程和音速方程所规定的条件。对此，下面将进一步加以讨论。

一、气流流通截面变化率方程

1.按连续性方程导出截面变化率方程

将一元稳定流动的连续性方程qm＝Awg/υ＝常数，两边取对数并进行微分，可得

上式可改写为

此式即为气流流通截面变化率方程，对于理想气体和实际气体，以及对可逆及不可逆过程，它都适用。

对喷管，流动工质在其中因进行绝热膨胀而加速，即比体积的变化率dυ/υ＞0，流速的变化率dwg/wg＞0，由式（8-1）可知：当dυ/υ＜dwg/wg时，dA/A＜0，即沿流动方向流通截面面积应逐渐减小；反之，当dυ/υ＞dwg/wg时，dA/A＞0，即沿流动方向流通截面积应逐渐增加。

对扩压管，流动工质在其中因动能降低而被绝热压缩，即比体积的变化率dυ/υ＜0，流速的变化率dwg/wg＜0，由式（8-1）可知：当dυ/υ＜dwg/wg时，dA/A＞0，即沿流动方向流通截面面积应逐渐增加；反之，当dυ/υ＞dwg/wg时，dA/A＜0，即沿流动方向流通截面面积应逐渐减小。由上可见，比体积变化率dυ/υ与流速变化率dwg/wg之比是流通截面变化率如何变化的决定因素。

2.比体积变化率与流速变化率之比

对于气体和蒸气的流动，特别是对可压缩气体而言，音速是一个很重要的特征参数，以符号c表示。由物理学可知，音速是微弱的扰动在连续介质中的传播速度。在气态工质中，压力波（微弱扰动）的传播，可以认为是在其中交替发生的可逆绝热膨胀和压缩过程。据此，可推导出音速方程为

式 ， 为可逆绝热（定熵）过程中压力对密度的偏导数。这个音速方程对气体和蒸气都是适用的。

对于理想气体，可逆绝热过程方程为

为了讨论方便，水蒸气的可逆绝热过程也可采用与理想气体相同的形式，即

这时，κ失去原有的意义，即κ≠cp/cv，而只作为一个经验数据。水蒸气的κ随所处的状态不同而有较大的变化，作粗略的估算，通常可取

将统一形式的可逆绝热过程方程式（b）代入音速方程式（a），可得

可见音速的大小是由工质的κ值和状态参数确定的。工质在流动中，由于其状态参数不断地发生变化，因此音速也在不断地变化。工质流速wg与当地音速c之比，称为“马赫数”，用符号Ma表示，即Ma＝wg/c。当Ma＜1时，流速小于当地音速，称为亚音速流动；当Ma＝1时，流速等于当地音速，称为临界流动；当Ma＞1时，流速大于当地音速，称为超音速流动。

将可逆流动方程式（3-17）应用于喷管和扩压管，因dws＝0，可得

上式两边同除以，得

再将统一形式的可逆绝热过程方程式（b），两边取对数并进行微分，可得

由式（8-4）和式（8-3），可得比体积变化率与流速变化率之比为(www.xing528.com)

即，比体积变化率与流速变化率之比等于马赫数的平方（当Ma＜1，即亚音速流动时，比体积变化率小于流速变化率，当Ma＝1，即临界流动时，两种变化率相等；当Ma＞1，即超音速流动时，比体积变化率大于流速变化率）。

将式（8-5）代入式（8-1），可得以马赫数表述的气流流通截面变化率方程为

上式适用于气体和蒸汽的可逆绝热流动。

对于在喷管或扩压管中流动的气体或蒸汽而言，管道的壁面为其流动提供了刚性的固体边界。因此，沿流动方向喷管或扩压管的管道截面变化情况就构成了在其中流动的气流的几何（边界）条件。下面，根据气流流通截面变化率方程式，依次讨论喷管截面变化规律和扩压管截面变化规律。

二、喷管截面的变化规律

对于喷管来说，速度是沿着流动方向不断增加的，即dwg＞0，这时式（8-6）中dA的正负号与（Ma－1）的正负号相同。

1.当喷管进口的流速为亚音速时，Ma＜1，（Ma2－1）为负值，因此dA＜0，即亚音速喷管是渐缩形的，如图8-1（a）所示。

2.当喷管进口的流速为超音速时，Ma＞1，（Ma2－1）为正值，因此dA＞0，即超音速喷管是渐放形的。这是由于超音速气流膨胀时，比体积的增加率大于流速的增加率，因此截面积必须逐渐增大，如图8-1（b）所示。

3.如果气流从亚音速一直增加到超音速，则喷管应是缩放形的。当气流速度小于当地音速时，喷管截面积逐渐减小；当气流速度大于当地音速时，截面积逐渐增大，即先收缩（亚音速段）后扩张（超音速段）。这种缩放形喷管又称为拉伐尔喷管，如图8-1（c）所示。在缩放形喷管的最小截面处，即dA＝0处，由式（8-6）可得Ma＝1，即在最小截面处，流速恰等于当地音速，为临界流动，因此该截面为临界截面。

三、扩压管的截面变化规律

对于扩压管来说，流速沿流动方向是不断下降的，即按式（8-6），dA的正负号与（Ma2－1）的正负号相反。

1.当进口流速为亚音速时，Ma＜1，按式（8-6），dA＞0，即亚音速扩压管的截面积应逐渐增大，如图8-2（a）所示。

2.当进口流速为超音速时，Ma＞1，按式（8-6），dA＜0即超音速扩压管的截面积应逐渐减小，如图8-2（b）所示。

3.当进口流速从超音速一直减到亚音速时，扩压管截面积应先减小后再增大而形成缩放形，如图8-2（c）所示。

图8-1 喷管截面形状

（a）渐缩形喷管；（b）渐放形喷管；（c）缩放形喷管

图8-2 扩压和截面形状

（a）渐放形扩压管；（b）渐缩形扩压管；（c）缩放形扩压管