双层同心球的结构求解方法

初始结构的选取对于成像光学系统的设计而言至关重要。本节选取具有高度对称性的同心球结构,作为内窥物镜设计形式;以初级像差理论为基础,分析该结构的像差特性并据此计算得到内窥物镜的初始结构参数。

同心球结构的优点:轴外像差均可通过对称式结构的设计实现平衡与校正。因此,本节所设计的内窥物镜采取具有高度对称性的同心球结构,如图12-59所示。在标准的同心球结构中,所有的光学表面的曲率中心重合,其各个视场理想像所形成焦曲面像的曲率中心也与该结构的中心重合,各个视场的主光线均可视为光轴,因此该结构不存在彗差、像散等与视场相关的像差,即标准同心球结构仅存在球差、位置色差。

图12-59　单层同心结构

12.6.3.1　同心球结构的像差特性

光学系统中的轴向球差可以用式(12-34)计算:

式中,为系统的像空间折射率;为系统像方孔径角;SI为初级球差系数,用式(12-35)计算得到:

由此可以计算同心球透镜前表面引入的轴向球差,如式(12-36)所示:

式中,n1、分别为系统物空间折射率和像空间折射率,均为空气折射率1;为透镜材料折射率n。

依据几何光学中近轴光学追迹公式可以求得以下关系:

将上述关系式代入式(12-36),可求得同心球透镜前表面球差,如式(12-41)所示:

同理,对于同心球透镜的后表面而言:n2=n,=1,h2=(2-n)n/h,i2=-hn/r,=-2(n-1)hn/r。由此可求得透镜后表面引入的球差,如式(12-42)所示:

同轴光学系统的球差,为每一个光学表面引入球差的线性叠加,由式(12-36)和式(12-42)可求得,单个同心球结构中存在的球差如式(12-43)所示:

光学系统中位置色差可以用式(12-44)计算:

式中,为系统的像空间折射率;为系统像方孔径角;CI为初级位置色差系数。依据式(12-44),求得前表面引入的位置色差,如式(12-45)所示:

式中,i1=h1/r,=2(n-1)h1r/n,h=h1,Δn1=nF-nC=(n-1)ν,=-=(n′-1)ν′,ν和ν′分别为前表面物空间和像空间的材料阿贝数。将上述关系代入公式(12-45),得到式(12-46):

同理,可计算得到后表面引入的位置色差,如式(12-47)所示:

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与球差相同,同轴光学系统的位置色差,也为每一个光学表面引入位置色差的线性叠加,由式(12-45)和式(12-47)可求得,单个同心球结构中存在的位置色差如式(12-48)所示:

12.6.3.2　双层同心球结构参数求取

为了更好地校正系统中的球差和位置色差,内窥物镜的设计选取双层胶合同心球结构,如图12-60所示。该结构包含6个结构参数,分别为内外两个同心球的曲率半径r1和r2、内外两种玻璃材料的两个折射率,以及其对应的两个阿贝数。

图12-60　双层胶合同心球结构

基于近轴光线与光轴夹角的折射公式,如式(12-49)所示:

将=nk+1,=uk+1代入,可得到光线在同心球透镜各折射面的投射高度和角度的递推关系:

式中,dk表示第k面和k+1面之间的厚度。由同心透镜的性质可知,d1=d3=r1-r2,d2=2×r2。当入射光线为平行光,将u1=0代入可得双层同心球透镜的焦距:

构建消球差初始结构需要使得同心球结构初级球差=0,由式(12-34)可得,消球差条件为

联立焦距式(12-52)和消球差条件式(12-53),得到双层同心球结构的消球差条件:

消色差初始结构则需要通过不同材料,阿贝数的组合使得F光与C光的焦点重合,即

将式(12-54)代入式(12-55),得

将同种材料的F、d、C光折射率近似关系≈nF·nc,以及阿贝数的定义ν=代入上式可得消色差的条件:

根据系统焦距和视场的设定,联立焦距公式、消球差公式和消色差条件公式,可以得到一组系统参数,如表12-24所示。系统结构如图12-61所示。

表12-24　电子内窥物镜主要结构参数

图12-61　双层同心系统结构示意图