离散数据点表征的数值化正交多项式

如11.1.1节所述,对于非圆域孔径形状的自由曲面的表征,可以采用正交完备的Zernike标准多项式为基函数,通过格林姆-施密特正交化法,获得相应孔径形状的解析正交多项式。严格意义上,这些解析正交多项式只在连续域内具有正交特性。在实际工程应用中,无论是光学设计中在自由曲面面型上的光线追迹坐标点,还是干涉检测中自由曲面波面上的测试数据点,通常所获得的采样数据均为离散点。此时传统的解析正交多项式失去了其正交特性,因此需要一组正交多项式能够适应离散数据点的分析。另外,对于复杂孔径形状的自由曲面表征或波前分析,若采用迭代形式的格林姆-施密特正交化法获得该复杂孔径形状的正交多项式,计算相对烦琐,效率较低。Malacara采用离散正交多项式用于单位圆域的波前分析;Dai和Mahajan提出一种非迭代且快速的算法用于获得任意可积区域内的解析正交多项式。结合这两方面的研究,依据自由曲面面型或波前的矢高离散数据点,针对由离散数据点拟合自由曲面和复杂孔径自由曲面的表征技术等问题,本书作者所在的研究团队提出了基于矩阵变换的数值化正交多项式用于表征自由曲面。

由于Zernike标准多项式在圆形孔径内具有正交完备性,用于离散数据点分析的归一化的数值化正交多项式,可以表示为Zernike标准多项式线性组合的形式:

式中,Fl(xn,yn)为数值化正交多项式,下标l为其排序序号;坐标点的下标n表示该有效数据点的序号,n=1,2,…,N,相应孔径范围内有效离散数据点的个数即为N个;Mlj为变换系数,j为Zernike标准多项式Zj的排序序号;J为Zernike标准多项式的总项数。式(11-41)对相应孔径内的任意一个有效数据点(xn,yn)具体展开为

由式(11-42)可知,变换矩阵M可表示为

式(11-43)可表示为矩阵形式:

进一步,式(11-44)对孔径范围内所有N个有效离散数据点可表示为

式(11-45)可简写为矩阵表示的形式:

式(11-46)中,F和Z分别为大小N×J的数值矩阵;MT为变换矩阵M的转置矩阵。(www.xing528.com)

矩阵F是由归一化的数值化正交多项式在相应孔径范围内所有有效离散数据点构成的数值矩阵,满足FTF=NI,其中I为J×J的单位矩阵,将式(11-46)代入其中得到

根据矩阵基本性质(ABC)T=CTBTAT,矩阵FTZMT可变化为

由式(11-48)可得

令变换矩阵M为

将式(11-50)代入式(11-49),得到

式(11-51)中,矩阵ZTZ为对称且为正定矩阵,因此式(11-51)可以用乔里斯基分解法(Cholesky Decomposition)唯一获得中间矩阵Q。进一步,由式(11-50)得到变换矩阵M,再由式(11-46)得到相应孔径范围内所有有效离散数据点构成的归一化数值化正交多项式的数值矩阵F,用于自由曲面表征或波前分析。

不仅如此,上述数值化正交多项式的获得过程具有一般性,除采用Zernike标准多项式以外,可以根据具体需要将数值化正交多项式表示为其他正交完备的基函数线性组合的形式。数值化正交多项式表征光学自由曲面的具有任意孔径形状适应性的优势,能够快速、高效、高精度地由离散数据点拟合自由曲面,这一点对于自由曲面光学系统优化设计时动态的孔径变化十分有利。将数值化正交多项式的自由曲面表征融入到光学设计过程中仍值得深入研究。