灵活控制局部面型的函数

前文论述的正交多项式和非正交多项式,面型描述中任意系数的变化,均会使得全局所有位置的矢高以及斜率发生变化。与之相对应的是局部面型可控的自由曲面面型,主要包括非均匀有理B样条自由曲面和径向基函数自由曲面。

11.1.3.1　非均匀有理B样条自由曲面

样条曲面以其灵活多样性在计算机辅助设计和自由曲面造型技术中具有广泛的应用,其中非均匀有理B样条曲面(NURBS)正逐步应用到光学设计中。NURBS的数学表征方程为

式中,下标i、j、k和l均为非负整数;Pi,j为控制点;wi,j为权重因子;Bi,k(u)和Bj,l(v)分别为沿着u方向的k阶B样条基函数和沿着v方向的l阶B样条基函数。式(11-37)为沿着u方向的k阶B样条基函数。

对于沿着v方向的l阶B样条基函数,只需将式(11-37)中的下标i、k换为j、l,自变量u换为v,如式(11-38)所示。

从非均匀有理B样条曲面的数学表征函数可以看出,调节NURBS曲面的每一个控制点或者其权重只影响该点附近的面型,因而NURBS曲面是一种局部面形可控的自由曲面。同时,NURBS自由曲面具有一般性和较大的灵活性,通过调整控制点和权重因子,可以改变自由曲面的形状,但是其计算相对烦琐复杂。Chrisp采用NURBS自由曲面设计了无像散离轴三反光学系统,相比于Zernike多项式面,其性能得到一定提高。在商业化光学设计软件ZEMAX的高级版本中,已经含有Radial NURBS和Toroidal NURBS自由曲面,但是相对于只有全局面型控制能力的自由曲面表征,此类NURBS自由曲面在光学设计中光线追迹速度和效率相对较低。尽管如此,可以进一步研究NURBS自由曲面的优化和追迹算法,利用商业化光学设计软件中的自定义曲面特性,将NURBS自由曲面集成到软件中,用于光学自由曲面表征和自由曲面光学系统设计。(www.xing528.com)

11.1.3.2　径向基函数为基函数的自由曲面

以径向基函数为基函数的自由曲面是以二次曲面作为基底面,叠加径向基函数线性组合的形式,其表征方程为

式中,c为顶点曲率半径;k为圆锥常数;Φn为径向基函数;wn为该径向基函数的权重。径向基函数具有紧致特性,在以某个固定点为中心的支撑域范围内,径向基函数表示为

式中,p为支撑域内的任意点(x,y);pn为支撑域中心点(xn,yn);‖p-pn‖2为二范数,表示两点之间的欧几里得距离;φ为构成径向基函数的径向函数,如高斯函数。在某个径向基下的某一点处的函数值仅与该点到径向基中心处的径向距离有关,因此径向基函数曲面是一种局部面型可控的自由曲面。同时,由式(11-40)可以看出,一个径向函数φ(·)通过平移到不同的支撑域中心点,就得到了所有的径向基函数Φ(·),体现了径向基函数的多中心特性。

径向基函数具有控制曲面局部形变的特性,因此也可用于表征光学自由曲面。实际使用时是在曲面的孔径区域内将其分成m×n个网格。每个网格中心位置为每个高斯基函数的中心位置。最后将所有带权重的基函数进行叠加生成最终曲面。Ozan Cakmakci等人利用光学设计软件自定义面型的特性,将高斯径向基函数集成到软件中,用于头戴显示器的设计。对于径向基函数的自由曲面面型,每个基函数仅影响局部面型,调整每个基函数的权重即可控制曲面在该基函数中心附近处的面型改变。此外,高斯函数平滑连续且具有任意阶导数,有利于光线追迹和优化分析。应用径向基函数面型时要特别注意合理选取每个基函数的空间影响区域,同时要保证设计过程中合理选择采样视场的数量,避免面型出现过度的起伏以及某些视场对应的局部面型未被优化。当前对高斯径向基函数用于自由曲面表征和自由曲面光学系统设计的研究尚不充分,径向基函数的曲面局部表征特性值得进一步探讨分析。