非正交多项式的性质和应用

除了前文中论述的各种类型正交多项式之外,还有一些非正交类型的函数也用于自由曲面的表征,主要包括由xy型多项式演变的多种曲面。

11.1.2.1　双曲率复曲面

双曲率复曲面(Anamorphic Asphere Surface,AAS)也称为变形非球面,是以双曲率面为基底面,分别叠加XY的对称项和非对称项。

双曲率面是指在子午面和弧矢面上分别有不同的曲率半径和圆锥系数的曲面,双曲率面没有旋转对称型,但具有双面对称性。双曲率复曲面的表征方程为

式中,cx和cy分别为弧矢面和子午面内的曲率半径;kx和ky分别为弧矢面和子午面上的圆锥系数;an为旋转对称项的系数,bn为非旋转对称项的系数。因为双曲率复曲面在子午方向和弧矢方向具有不同的曲率半径,所以在离轴非旋转对称自由曲面光学系统设计中,可以使用该曲面校正离轴像散。

11.1.2.2　xy多项式面(www.xing528.com)

xy多项式面是以二次曲面为基底面,叠加多个xmyn单项式,其表征方程为

式中,c为顶点曲率半径;k为圆锥系数;aj为xmyn项的系数,上标m和n为非负整数,且m+n≥1。将自由曲面与最佳拟合球面或二次曲面的偏差表示为xmyn线性组合的形式,含有非对称项,可用于表征光学自由曲面。此外,由于多数的加工机床输入的参数都为xy多项式面,所以为了避免数据转换的精度丢失,xy多项式也是自由曲面光学系统设计中普遍采用的面型表征方式。从像差理论角度分析,当不考虑系统对称性时,对于某一固定视场,系统像差近似表示为xy多项式泰勒级数展开的形式,这充分体现了xy多项式较强的自由曲面表征能力和像差校正能力。

11.1.2.3　双曲率基面xy多项式面

双曲率基面xy多项式面是以双曲率面为基底面,再叠加多个xmyn单项式的曲面。该曲面结合了双曲率复曲面和xy多项式面的优点,进一步提高了光学设计自由度和光学自由曲面的表征能力,其表征方程为

式中,cx和cy分别为弧矢面和子午面内的曲率半径;kx和ky分别为弧矢面和子午面上的圆锥系数;aj为xmyn项的系数,上标m和n为非负整数,且m+n≥1。在现有商业化光学设计软件中,需要利用自定义面型的特性,在软件中定义该双曲率基面xy多项式面,便于在自由曲面光学系统设计中使用。北京理工大学程德文和王涌天等人采用该曲面用于大视场结构紧凑的头戴显示器的设计。