调制传递函数的作用和特点

调制传递函数(Modulation Transfer Function,MTF)是光学系统性能评价最全面的指标,尤其适用于成像系统。

其基本思想是:将物体看成具有一定亮暗对比的系列空间频率成分物体元的组合。换句话说,将物体的精细结构看成是一系列黑白正弦光栅或矩形光栅,光学系统犹如线性“滤波器”,经光学系统成像(传递后),某一限度以上的高频波被遏制,允许通过的低频也因衍射和像差影响,振幅受到不同程度的衰减,位相有不同程度的推移。这些不同空间周期的黑白光栅的对比度衰减情况,用MTF进行定量描述。MTF反映了系统由物到像的调制度的传递,相当于电学中的频率响应函数。为了弄清某电路模块的频响函数,常输入时间域上的冲击响应或方波,通过对输出信号做频谱分析即可。与其类似,光学中,通过让系统对点光源(相当于冲击信号)、狭缝(相当于方波)或刀口(上升沿冲击)成像,不同之处在于光学中的频率域为空间频率域,单位为lp/mm。

6.2.3.1　MTF的基本定义

设物面上的光强分布函数(非相干照明情况)为O(x,y),其傅里叶变换为

经光学系统后,像面上得到的光强分布为i(x′,y′),其傅里叶变换为

则MTF(νx,νy)定义为

νx,νy为系统物面上空间频率,通过放大率可以转化为像面上空间频率。

如物面为点物,则MTF可以由PSF的傅里叶变换获得:

6.2.3.2　MTF的计算方法

(1)FFT定义的调制传递函数。由式(6-3)计算PSF,直接由式(6-24)获得MTF。FFT定义的MTF计算方法只需计算PSF,再对像面做细分采样,再做傅里叶变换,计算速度快,但仅适用于对系统做像差初步校正的系统。

(2)由光瞳函数计算的MTF。可以用式(6-4)和式(6-5)由光瞳函数P(P′x,P′y)计算出PSF,再用PSF经二重傅里叶变换计算出MTF。

也可以基于惠更斯波面包络原理,先计算出出瞳面上的光瞳函数,然后再将出瞳细分,看成次级光源,再向像面传递,称之为Huygens MTF。这种计算方法相当于光瞳函数的自相关运算。

式中,OTF为光学传递函数,其模为MTF;R为参考球面半径,约为出瞳面到像面的轴向距离;λ为工作波长;A(,)为式(6-6)中的振幅函数。

(3)几何光学MTF。前述FFTMTF和Huygens MTF的计算公式,都考虑到了有限光瞳的衍射作用,考虑了光的波动性,称它们为物理光学传递函数。

对一些大像差光学系统,如果忽略了衍射效应,也可以计算出MTF,称之为几何调制传递函数(Geometric MTF)。

算法为:由几何光学的光线追迹方法,求出系统的点列图,每根光线携带能量,以点列图中像面交点的密度作为像面光强分布,求出PSF,再做FFT,即可得到Geometric MTF。

式中,N为计算点列图时光瞳上追迹光线数量;,为第i根光线在像面上交点坐标。

现代光学设计软件中,由于Geometric MTF的计算量大,计算速度慢,只给出子午和弧矢面上的MTF曲线,不提供三维调制传递函数(Surface MTF)。

6.2.3.3　用M TF评价像质应注意的问题

影响MTF曲线的走向有像差、中心遮拦或光瞳形状和离焦等多种因素,用MTF评价像质时,应概念清楚、考虑全面。

(1)特征频率和截止频率。对每一光学系统,要根据物面特征、探测器像素及响应情况,确定评价时的特征频率和调制度阈值,确定特征频率处的MTF值至少为多少;系统的截止频率(νc)与系统的F数及工作波长(λ)有关。

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特征频率ν0至少为νc的一半,即ν0≥,因此光学系统的相对孔径应足够大。

像质评价时,截止频率的确定还应考虑探测器、底片等接收器的特征。镜头需要评价的特征频率与经验频率上限(υm),一定小于其理论上的截止频率υc。常见的光学系统的特征频率与经验频率上限如表6-2所示。

表6-2　常见的光学系统的特征频率与经验频率上限

MTF值上限确定也与物镜的应用场合有关,需要考虑探测器的对比度响应阈值,如人眼在良好照明下,对比度阈值最低达到0.02,而胶片对比度响应阈值需要至少大于0.1。霍普金斯(Hopkins)提出的传函判别准则为

等同于瑞利标准。

(2)中心遮拦导致低频段MTF值下降,随着中心遮拦比的增加,PSF的中心主极大直径会减小,如图6-10所示,相应的MTF曲线下降趋势如图6-11所示。

图6-10　无像差系统的点扩散函数和中心遮拦的关系

图6-11　完善系统的MTF与中心遮拦的关系

(3)MTF小于0时表示位相倒转。光学设计中,高频段的MTF可能小于0;另外,性能良好的系统因离焦、像差或制造误差会性能下降,MTF也会降低,当性能连续降低时,MTF值可能为负。图6-12给出了一完善无像差f/5系统在离焦1.5λ时的MTF曲线,在50lp/mm左右,MTF≈-0.1,图6-13是用于证明假分辨或位相倒转的径向靶条图案,图6-14是这一离焦状态下靶条成像的位相倒转情况。

图6-12　出现负值的MTF曲线

图6-13　径向靶条图案

图6-14　MTF为负值造成径向靶条黑白反转示意图

(4)恰当离焦可以提高特征频率处的MTF。如离焦量为d l′,则MTF变化关系为

式中,J1(*)为一阶贝塞尔函数;d l′为轴向离焦量;NA为数值孔径;ν为空间频率。

图6-15表示了f/5.0镜头系统,离焦量分别为0(1)、0.5倍焦深(2)、1倍焦深(3)、1.5倍焦深(4)和2倍焦深(5)的MTF变化曲线。

图6-15　f/5.0镜头系统MTF随焦深的变化曲线

(5)MTF评价像质时不反映畸变。MTF跟波像差、点列图等像质指标一样,只反映成像清晰度,不反映变形,所以要查看物像相似程度,还要检查畸变像差曲线。

(6)用MTF评价像质时数据检查要全面。MTF曲线与波长、视场、离焦量、多重结构等方面关系密切。用MTF评价像质,须查看多色MTF在每一视场处的子午和弧矢传递函数曲线,还要查看MTF在每一单色波长下,各视场的子午和弧矢传递函数曲线。