薄透镜系统像差方程组优化

这里的薄透镜系统的初级像差方程组,通过内部参数P、W、C将像差与系统的结构选型建立起联系。

图5-2中,薄透镜系统由两个薄透镜组和位于中间的孔径光阑组成。该系统的物体是AB,物高为y。一般地,系统的物平面位置、物高(y)和光束孔径角(u)都是作为设计要求,是已知的,在系统完成外形尺寸计算完成以后,每个透镜组的光焦度φ,以及各透镜组之间的间隔d都是确定的。

图5-2　薄透镜系统初级像差理论涉及的参量物理含义标注

前已阐明,光学系统的像差与结构参数的显函数关系是无法准确表征的。为了建立与结构参数之间的关系,得到薄透镜系统的初级像差方程组,变通的方法是追迹两条辅助光线,根据辅助光线走过的轨迹表征的参量,给出薄透镜系统的初级像差方程组。

图5-2给出了两条辅助光线的定义。第一辅助光线,是由轴上物点A发出,经过孔径光阑边缘的光线AQ;应用理想光学系统中的光路计算公式(或近轴光路公式),可以计算出它在每个透镜组上的投射高h1、h2。第二辅助光线,是由视场边缘的轴外物点B发出,经过孔径光阑中心的光线BP;它在每个透镜组上的投射高hz1、hz2也可以用近轴公式计算出来。这样,通过追迹获取h、hz、J、φ、u′等都是已知的,我们称它们为透镜组的外部参数,与薄透镜组的具体结构无关。像差既和这些外部参数有关,当然也和透镜组的内部结构参数(r,d,n)有关。薄透镜系统的初级像差方程组的作用,就是把系统中各个薄透镜组已知的外部参数和未知的内部参数与像差的关系分离开来,使像差与内部结构参数之间关系的讨论简化。下面直接给出薄透镜系统的初级像差方程组,如式(5-1)～式(5-7)所示。

以上公式中,N为系统中薄透镜组数,n′、u′为系统最后像空间的折射率与孔径角;J是系统的拉格朗日不变量,J=n′u′y′,它们是已知常数,每个透镜组的外部参数h、hz、φ也是已知的。方程式右边的和式∑,是对薄透镜组求和,即每个透镜组对应一项。这样,以上方程组中每个透镜组共出现4个未知参数:P、W、C、μ,它们都与各个透镜组的内部结构参数有关,称为内部参数。这4个内部参数中,最后一个参数μ最简单:

式中,φ为薄透镜组的总光焦度,是已知的;φi和ni为该透镜组中每个单透镜的光焦度和玻璃的折射率。对薄透镜组来说,总光焦度φ等于各个单透镜光焦度之和,即φ=∑φi。另外,一般光学材料折射率变化不大,为1.5～1.7时,μ≈,因此μ近似为一个与薄透镜组结构无关的常数。通常我们取μ的平均值为0.7。

这样,每个薄透镜组的内部参数实际上只剩下P、W、C三个。其中C只和两种色差有关,称为“色差参数”,它的公式为:

以上∑和式中,也是对某个薄透镜组中的每个单透镜求和,φi为薄透镜组中每个单透镜的光焦度,γi为该单透镜玻璃的阿贝数。

(www.xing528.com)

式中,γ是光学玻璃的一个特性常数,n为指定波长的折射率,(nF-nC)为计算色散时所用两种波长光线的折射率差——色散。由式(5-9)看到,C只与透镜组中各单透镜的光焦度和玻璃的色散有关,而与各单透镜的弯曲形状无关。

其余的两个参数P、W决定了系统的单色像差,称为“单色像差参数”。它们与透镜组中各个折射面的半径ri以及介质的折射率ni有关。但我们无法将P、W表示为(ri、ni)的函数,而用第一辅助光线通过各折射面的角度来表示:

式中,Δui=-ui,;k为薄透镜组中折(反)面数。式(5-11)、式(5-12)中的求和式∑,是对薄透镜组中每个折射面求和。例如,一个双胶合透镜薄透镜组中有三个折射面,则P、W分别对这三个面求和。

式(5-4)中,关于场曲的方程,使用了新的场曲符号,而不是第2章中提到的、。原因是、、这三个像差中至多只有两个独立像差;而且,像散是影响成像清晰度的像差,需要校正=0。将校正为0后,=,此时的场曲就是,称之为Petzval场曲。因此,系统校正场曲,转变为校正=0。

如果不等于0,则由、可以得到、:

实际上,、、、四者中,只要确定了其中任意两个,其他两个也就确定了。

由薄透镜系统的初级像差方程组和像差要求可以求解系统的初始结构,胶合透镜结构的PW法求解是该方程组成功实例。

求解步骤如下:

(1)按使用要求进行总体设计,得到系统焦距、视场与相对孔径。

(2)选型和进行外形尺寸计算,求得J和各薄透镜组的h、hz、φ。

(3)根据像差要求确定各薄透镜组的像差参量P、W、C值。

(4)由各薄透镜组P、W、C分别求解各组的r、d、n等结构参数。

由薄透镜系统的初级像差方程组,可以求解薄透镜系统的结构参数,还可以用来讨论薄透镜组的像差性质。