轴上点像差的影响因素及调整方法

直观上讲,投影仪、手机拍照、医用内窥等在内的所有光学系统所成的图像,如果图像的中央区域不清楚,人们很敏感;如果边缘或对角区域不清楚,人们视觉上可以容忍。常见光学系统的中央区域,就在光轴附近的物点成像区,对于非常规的离轴光学系统,设计时,也有一根假想“轴”线标记视场的中心。因此,轴上物点的像差,在光学设计中的地位尤其重要,是像质评价时优先查看的指标,也是光学设计时需要优先校正的像差。

在讨论像差概念时,我们仍然以共轴光学系统为例,便于理解。但是这些像差概念的本质与表现形式,对非共轴光学系统的成像质量评价同样适用。几何像差一般通过空间光线追迹数据计算得到。

2.3.1.1　轴上点的单色像差——球差

1.球差的定义

对于共轴系统的轴上点,由于系统对光轴对称,进入系统的成像光束也对称于光轴。我们在应用光学中学过,对于单折射球面,如图2-10所示。

图2-10　单折射球面的成像

单折射球面实际光线追迹公式为

由式(2-2)可以看出,对于单折射球面,相同的(L,U)表示由物点发出的柱锥面状光束,得到相同的(L′,U′),即像点相同;如果L不变,U改变,则L′改变,即同一物点发出的不同孔径光线,具有不同的像点。因此,单折射球面的轴上物点,以一定的光束孔径成像时,必然存在轴上点的像差。

对于由多个球面组成的共轴球面系统,依据这一结论,轴上点以一定的光束孔径成像时,同样存在轴上点的像差,也就是说,由物点发出的同心光束,相当于球心位于物点的球面波,经过系统后出射光线不再是球面波。这样,物方不同孔径的光线,在像方与光轴相交得到的像点位置不同。换句话说,虽然由同一物点发出的光线,只要光束孔径不同,像点就不同,这种随着光束孔径变化的像差,反映了非球面波与球面波之间的偏差,称为球差。

球差的起因,是不同孔径光线的像点不同,即存在轴向距离偏差。图2-11给出了球差定义计算方法。图2-11中,对于物点A发出充满入瞳的光线,假设入瞳面被均匀照明,遵循在入瞳面上每一孔径带代表的面积相等即能量相等的原则,分别给出了孔径带高度为0.3h、0.5h、0.707h、0.85h、1.0h的柱锥面光线。由于旋转对称,图2-11给出的是子午截面光线追迹图示。由图2-11看出,最大孔径的光束聚交于,0.85孔径的光线聚交于,依此类推。为了描述这种现象的像差,我们用不同孔径光线的聚交点与理想像点的轴向距离、……表示,球差符号为δL′代表,计算公式为

其中,L′代表一定孔径高光线的聚交点的像距,l′为近轴像点的像距。球差δL′有正负之分,其符号规则是光线聚交点在的右方为正,左方为负。如果光学系统理想成像,则所有出射光线均聚交于理想像点,则=0。反之,球差值越大,则成像质量越差。

图2-11　轴向球差的定义及其随孔径的变化

实际应用中,还会通过在像面上观察轴上像点的弥散斑状况来判别球差大小,此时,我们可以用像面上弥散斑的垂轴分量来度量球差,符号用δT表示,它与轴向球差的关系如图2-12所示,具体关系如式(2-4)。

图2-12　球差的垂轴度量

垂轴球差在像面上的度量如图2-13所示,直接用随入瞳孔径变化的弥散斑来得到垂轴球差。

2.球差的变化规律——随孔径h的变化

由图2-11可以看出,轴上点的球差与光束孔径h有关,不同孔径高的成像光束,其球差分别为=0,,,,,。图2-14给出了常见的轴向球差δL′随孔径h的变化曲线,球差曲线的纵轴为光束孔径高,采取归一化孔径表示方法,坐标最大刻度为1.0,横轴为球差δL′,单位为mm。

图2-13　在像面上由弥散斑得到的垂轴球差

图2-14　轴向球差曲线

球差与孔径h有关,即球差δL′是孔径h的函数。从图2-11的光线结构可以看出,球差是孔径的偶函数。我们撇开光学系统具体的结构,球差与孔径的一般规律,则可以用孔径h的多项式表示,如式(2-5):

式中,右边第一项是初级球差随孔径h的变化规律,右边第二项及其以后的项是高级球差随孔径h的变化规律。在实际应用中,如果系统所需的相对孔径较小,如D/f′≤1/5,球差的量值处于初级球差水平,随孔径变化的规律用式(2-5)右边第一项已经足够;如果系统所需的相对孔径较大,如1/3≤D/f′≤1/1.5,球差的量值处于包含初级球差的第一项和包含高级球差的第二项水平,此时高级球差是需要被重视的像差;如果系统所需的相对孔径更大,如D/f′≥1/1,球差的量值处于包含初级球差的第一项和包含高级球差的第二项、第三项甚至更高级水平,高级球差随孔径h的变化规律是高次函数关系,球差十分严重,各个孔径的球差都很难控制到0附近,球差曲线会多次与纵轴相交。

3.球差的校正策略

(1)校正球差的结构。由于球差是轴上点的像差,影响中央视场的成像清晰度,因此在光学实验中选择器件或光学设计中是被重视与校正的优先级最高的像差。

像差校正,是依据系统结构参数变量的改变而改变像差的能力,从而控制像差的量值与符号的技术。一般情况下,很难将所有孔径的球差校正到0。球差校正一般从系统结构或光学面的选型来进行,控制所有孔径的球差小于球差允许的容限(关于像差容限的概念参见本书第6章6.3节)。

校正球差的最常用结构是正负透镜组合,因为常见的正透镜都是中间厚、边缘薄,负透镜都是中间薄、边缘厚。如果将正、负透镜在平行于光轴的方向由中间向边缘切成小梯形棱镜,这种小梯形棱镜的两腰夹角从中间到边缘越来越大。按照棱镜对入射光的偏向角公式,入射光线经过正透镜后,边缘光线偏向角大,中间光轴附近的偏向角小。对照球差光线结构,正透镜产生负球差,负透镜产生正球差,如图2-15所示,因此正、负透镜组合可以消除球差。

图2-15　正透镜产生负球差、负透镜产生正球差示意图

(a)正透镜;(b)负透镜

另一种校正球差的结构是从系统光学面面型方向来选择,按照球差与孔径的关系式(2-5)选择针对性很强的面型结构。满足这一特征的光学面面型为偶次非球面,其面型矢高的用式(2-6)表示:

因此偶次非球面可以消球差。

如果既不允许使用非球面,也不允许使用正负透镜组合的结构,仅使用球面,那么,有没有不产生球差的球面呢?

根据前面的单折射球面的实际光线追迹公式[式(2-2)],我们知道,单折射球面本质上会产生球差,这是球面面型的本质决定的。但是,按照式(2-2),有几个特殊的物像共轭关系,实际光线追迹的结果与理想光学系统遵循的近轴光线追迹公式的结果相同,此时不产生球差,例如L=0、L=r,等。也就是说将式(2-2)得到的实际像距L′与近轴光线追迹得到的l′相减,就是单折射球面的球差贡献量,其结果如式(2-7):

由式(2-7)可以看出,单折射球面存在以下三个球差为0的情况:

①L=0,即物点位于球面顶点,此时像点也在球面顶点,L′=0,垂轴放大率β=1。

②sin I-sin I′=0,即物点位于折射球面的球心,L=r,此时L′=r,垂轴放大率β=1。

③sin I′-sin U=0,此时物像共轭关系满足L=,L′=,此时垂轴放大率β=(n/n′)2。

这三个球差为0的共轭成像点,称为球面的齐明点;由齐明点球面组成的透镜,称为齐明透镜。虽然是特殊共轭关系,但为实际应用领域的大相对孔径物镜设计提供了思路,此时透镜结构会选择这些齐明点构成的齐明透镜进行组合,满足较大孔径光的收集。

最常用的齐明点球面组合方式有:齐明点①与③的组合,齐明点②与③的组合。

第一种组合方式如图2-16(a)所示,此时透镜将位于第一球(平)面顶点的物点A1成虚像,此时垂轴放大率β=n2

第二种组合方式如图2-16(b)所示,此时透镜将位于第一球面球心的物点A1成虚像,此时垂轴放大率β=n,一般n＞1.0,因此图2-16(b)的齐明透镜具有较大的垂轴放大率。

图2-16　齐明透镜的两种典型组合方式

(a)第一种组合方式;(b)第二种组合方式

图2-17给出了大NA显微物镜中的前片(箭头方向)常采用的两种齐明透镜的典型实例。

(2)球差的校正顺序。根据前述,球差与孔径有关,针对小相对孔径的系统,球差与孔径的关系是二次方关系,光学设计中,校正边缘孔径球差(1.0h)到一定的目标值,一般情况目标值为0。

图2-17　大NA显微物镜前片常采用的两种齐明透镜的典型实例

对于大相对孔径的系统,球差与孔径的关系满足式(2-5),球差校正变得复杂,除了校正初级球差还要校正高级球差,才能保证中央视场具有较好的像质。为了阐述清楚球差校正的现象与规律,我们只保留式(2-5)中4次方高次项,即球差与孔径的关系为

按照先校正初级球差再校正高级球差的优先顺序,一般先校正h=hm边缘孔径的球差为0,即δL′(hm)==0,得到a2=-,这样式(2-8)变成m

式(2-9)是校正边缘孔径球差后的残留球差,此时最大球差值的极值点在h=0.707hm处,=,该最大残留球差代表了高级球差,即0.707h的球差,需要进一步校正。如前所述,校正球差是无法让所有孔径的球差校正为0的,因此,允许边缘孔径的球差校正到允差之内,不一定严格为0。通常情况下,高级球差用式(2-10)表示:

由式(2-10)可以看出,如果被校正到0,则剩余高级球差,就是0.707h的球差,这与刚才的讨论结论是一致的。

(3)球差的校正策略。依据可以校正球差的结构与球差校正的顺序,在光学设计时,首先选择可以校正球差的合适透镜结构,然后选择球差的校正策略。校正球差总的策略为:对于小相对孔径的系统,轴上点的单色像差,只需校正初级球差,一般是校正边缘孔径的球差,因相对孔径不大,边缘孔径球差校正好了,其他孔径的残留球差数值不大;对于大相对孔径的系统,其轴上点的单色像差,优先校正初级球差,在此基础上,再校正高级球差。在具体的像差设计过程中,初级球差一般选择边缘孔径的球差,在校正好边缘孔径球差的基础上,加大初级球差的控制权重,再按照式(2-10)计算与控制高级球差。对于超大相对孔径系统,控制边缘球差与0.707h的球差还不够,需要加入校正其他孔径的球差,最终球差的符号在不同的孔径带内正负交替变化。

2.3.1.2　轴上点的色差(www.xing528.com)

1.色差评价中的波长选择

由物点发出进入成像系统的光束,一般都具有一定的波长范围。因同一种透射玻璃材料对不同波长具有不同的折射率,而且波长越长,折射率越小,这种现象称为“玻璃的色散”。为了评价整个波长范围内光束的成像质量,一般取出3～5个波长的光线,用它们的成像质量代表整个波段的成像质量。

对于目视光学系统,即探测器是眼睛,对可见光响应灵敏,我们取C(656.27nm)、D[589.3nm,有时取d(587.56nm)]、F(486.13nm)这三个波长可以代表整个可见波段。对于工作在其他波段的光学系统,光学设计或像质评价时,如果系统使用主动照明光源,一般要依据光源发光的光谱强度曲线与探测器的光谱响应灵敏度曲线来确定选取的波长。例如,某一近红外波段的系统,其光源发出的光谱强度分布如图2-18所示,探测器的量子效率响应随光谱变化的曲线如图2-19所示,则在近红外波段设计与评价该系统时,波长宜选在1 225～1 475nm波段内,波长选择及其权重设置建议如表2-3所示。

图2-18　近红外光源光谱强度曲线

图2-19　近红外探测器的量子效率光谱响应曲线

表2-3　依据图2-18、图2-19确定的近红外系统设计与评价用建议波长及其权重

2.轴向色差的定义

波长选择确定以后,显然,每一种波长的光线其出射光束都将形成一个类似于讨论轴上点球差的光线结构。如图2-20所示,同一物点发出的某一孔径高光线,通过透镜系统后,在像方因玻璃色散不同波长具有不同的像点,不同波长的像点之间的轴向距离,反映了轴上物点的色差大小,一般用最短波长的像距与最长波长的像距之差,定义轴上物点的轴向色差:

结合图2-20与式(2-11),轴上色差与孔径h有关,当孔径h=0时,式(2-11)中的大写像距L′变成小写l′,如式(2-12)所示:

图2-20　某一孔径高光线的像点随波长变化的光线结构

一般称为近轴位置色差,轴向位置色差一般不为0。注意,这里的不同波长像点位置之差,用字符“Δ”表示,不用“δ”表示。不同的字符、不同的标志区分细微含义的差别。

由图2-20可以看出,轴向色差也会造成轴上物点的共轭像点的弥散,影响像点的清晰度。跟轴上物点的球差一样,也是优先需要校正的像差。

轴向色差的起因是玻璃材料的色散,含有透射元件的系统,需要评估色差。对于纯反射系统,如果由镀制金属反射膜制作反射元件,一般情况下,这种系统在很宽的电磁波谱范围内没有明显色散,因此不存在色差;如果由镀制介质反射膜制作反射元件,在一定的光谱范围内,元件表面光谱反射率几乎相同,由此元件构成的反射系统,在一定的光波范围内也不存在色差。

3.色差的变化规律——随孔径h的变化

由图2-20可知,轴向色差与孔径h有关,是孔径h的偶函数。将轴向色差(h)展开成孔径h的多项式,如式(2-13)所示:

式中,第一项是孔径为0时的轴向色差,称为近轴位置色差,属于初级色差;后面h平方项及更高阶的项,属于轴向色差的高级色差。

由此可见,当光学系统的相对孔径较小时,影响轴上物点成像清晰度的色差主要是初级色差,由近轴位置色差作代表。近轴位置色差与透镜结构有关,由透镜材料的阿贝色散系数和透镜焦距决定(将在本书第5章讨论)。当光学系统的相对孔径较大时,影响成像清晰度的色差将变得严重,需要进行控制校正。但式(2-13)表示的高级色差比较抽象,仅是一种数学概念上的高级轴向色差,在像质评价与光学设计时不便于计算。一般像差的计算都由光线追迹数据得到,即由系列孔径高的光线数据来计算。

为此,对式(2-13)中的高级轴向色差做分析,在光学系统的相对孔径较大时,轴向色差分量中除了具有0h的近轴位置色差外,还有随光束孔径高变化的其他孔径的轴向色差,高级孔径色差就隐藏在这些孔径高越来越大的轴向色差之中。与轴上物点的单色球差一样,轴向色差也是一种轴向线段度量的像差,而且是一种随孔径高h变化的像差。如果我们将轴向色差看成一种“球差”,将式(2-13)中的第一项移到公式左边,则

式(2-14)与球差的展开式(2-5)形式相同,只是式(2-14)右边反映的是轴向色差的高级像差。参照球差的定义与使用的字符,将式(2-14)左边用表示,称之为色球差,它是轴向色差的高级像差。这样,色球差也是孔径h的偶函数,h=0时,色球差为0。

如果光学系统的相对孔径很大,但不是超大,色球差就用式(2-15)中第一项就可以表示了,对此类光学系统,实际使用时,采用边缘孔径轴向色差与0孔径的近轴位置色差之差来计算色球差:

式(2-16)表示的色球差是很容易计算得到的,一般光学设计软件在球差曲线(Longitudinal Aberration,LA)中会同时给出以中间波长像面位置为基准的每一个波长的球差曲线,如图2-21所示。

图2-21　三种波长的轴向球差曲线

由图2-21中曲线数据,很容易计算得到式(2-16)的色球差。

需要说明的是,大部分教科书中,都是以可见波段光学系统为例,给出轴向色差与色球差的定义,一般孔径h的轴向色差用(h)表示,近轴位置色差用表示,色球差用(h)表示,此时式(2-16)变为

习惯上,将边缘孔径或边缘视场用下标字母“m”表示。

4.轴向色差的校正策略

(1)校正轴向色差的结构。与轴向球差一样,轴向色差也是轴上点的像差,同样影响中央视场的成像清晰度,因此,评价像质或光学设计中,轴向色差也是被重视与校正的优先级最高的像差。

轴向色差的本质是由透射玻璃材料的色散引起的,因此校正轴向色差的基本结构,其原则是尽量减小色散或补偿色散引起的像点弥散。

对于单透镜,尽量采用阿贝色散系数(ν=(nd-1)/(nF-nc))较大、且常用的玻璃材料;具有轴向色差校正能力的最简单结构,是由冕牌玻璃的正透镜与火石玻璃的负透镜组成的双胶合透镜(其理论基础将在本书第5章讨论)。另一种能够校正轴向色散的基本结构是二元衍射光学元件,也是消色差单透镜的典型例子,其原理是在单透镜一个表面上制作的衍射结构,具有与玻璃色散规律相反的反常色散,可以补偿单透镜单种玻璃引起的色散。

基于上述结构,在实际光学系统结构中,经常存在双胶合透镜、三胶合透镜,这种结构既具有消色差能力,也具有消球差能力,图2-17所示的胶合透镜是大相对孔径系统中校正色差与球差的主要结构。当然,将双胶合透镜改成双分离透镜,同样是校正轴向球差与轴向色差的结构形式。基于微电子光刻工艺制作的二元光学元件,在包括可见光在内的短波光谱范围内,因提高衍射效率的成本太高,还没有被广泛使用;但在中波红外、远波红外等波长较长的光谱范围上,因二元需要的周期较长、制作难度低,同时在短波段为提高衍射效率所需的16阶套刻,红外段只需由单点金刚车削成三角形沟道即可,因此二元光学衍射元件在中远红外探测与热成像系统中获得广泛应用。图2-22是在锗单晶材料上车出的衍射环的中远红外段使用的典型衍射透镜元件。

图2-22　锗衍射透镜

(2)轴向色差的种类与出现的条件。如前所述,轴向色差本质上是由材料色散引发的,一般出现在工作波段具有一定范围的复色光光学系统中,其与光束孔径有关。在评价轴向色差时,一般选取几个特征波长代表整个工作波段,并确定中间波长,在中间波长上评价光学系统的单色像差,以中间波长的像面为短波与长波光线数据的计算基准,获得轴向色差数据。

轴向色差与孔径有关,以可见波段为例(其他波段雷同),像质评价时经常用到的轴向色差有:

①孔径为0的近轴位置色差;

②0.707孔径的轴向色差;

③边缘孔径的轴向色差;

④色球差。

这些轴向色差分别应用于在薄透镜系统的初级像差理论、小相对孔径的轴向色差校正、大相对孔径系统的轴向色差校正场景中。

轴向色差影响轴上像点的成像清晰度,在光学设计时需要校正控制轴向色差的允许残留的量值。从理论上讲,即使将轴向色差校正到0,仅表示短波(F光)像面与长波(C光)像面重合了,但不一定与中间波长(D光)的像面重合,大部分情况下,二者偏差不大,残留量没有超过轴向色差的像差容限,不足以成为影响轴上像点成像清晰度的主要因素。但是,如果需要设计光学系统的焦距很长,或者垂轴放大率较大,则需要注意检查评价中间波长像面与短长波像面之间的偏差:

或者

式(2-18)与式(2-19)表示的轴向色差也是会客观存在的,它是对前述式(2-14)定义的轴向色差概念的补充,称之为二级光谱色差。式(2-18)定义的二级光谱色差是像质评价与光学设计实践中经常使用的;式(2-19)定义的二级光谱色差用于薄透镜系统的初级像差理论中。在长焦距透射系统中,理论上二级光谱色差只与焦距有关,满足≈0.000 52f′。

校正二级光谱色差的方法很简单,就是使用特殊色散特征的玻璃材料,即使用图2-23所示的玻璃图中远离直线附近的一种玻璃。消除二级光谱色差选择玻璃的基本原则,是找出具有不同νd但具有相同部分色散Pg,F=(ng-nF)/(nF-nc)的玻璃对,这里g光波长为435.83nm。一般可以校正二级光谱色差的常用玻璃牌号有H-FK61、H-FK71、萤石(CaF2)等。

图2-23　相对色散系数随阿贝色散系数变化的玻璃分布图

(3)轴向色差的校正策略或顺序。要校正轴向色差,当然一定要选择具有校正能力的光学结构形式,然后再通过如下校正策略或顺序来校正轴向色差:

①当光学系统相对孔径不大时,则系统的轴向色差表现为初级形式,只需要校正初级轴向色差。在实践中,我们不选择控制近轴位置色差来校正初级轴向色差,而是选择校正0.707h的轴向色差。这种校正方法,有助于平衡所有孔径的轴向色差量值。如果采取校正近轴位置色差为0,则边缘孔径的轴向色差就会很大,不利于降低边缘孔径光线的像点弥散大小。通过比较图2-21(校正0.707h的轴向色差为0)与图2-24(校正0h的轴向色差为0)的色差结果,可以看出校正0.707h孔径轴向色差的优点。

图2-24　校正0h轴向色差为0的色差曲线

②当系统的相对孔径很大时,系统的轴向色差,包含初级轴向色差和代表高级像差的色球差,需要在先校正初级轴向色差的基础上,再校正色球差。实践中,先校正0.707h的轴向色差达到要求的目标值(一般情况下目标值为0),然后加大其权重,不让其在校正色球差的过程中反弹;再计算近轴位置色差与边缘孔径轴向色差,得到色球差,将色球差设置目标值及其权重,进一步校正色球差。需要注意的是,此时校正轴向色差,在时序上有先后,不是同时校正;通过设置大小不同的权重,进一步强化校正初级像差与高级像差的优先级,一般设计过程中,不会出现初级像差没有校正到位就校正高级像差的舍本逐末情况。

③当系统的焦距很长时,一般相对孔径不是很大,系统的轴向色差中初级轴向色差与二级光谱色差占主要成分,则先校正0.707h的轴向色差,再校正0.707h的二级光谱色差。

④当系统的垂轴放大率很大时,往往伴随着系统的数值孔径NA很大,系统的轴向色差中既包含初级轴向色差,也包含色球差与二级光谱色差。校正顺序上,仍然是先校正0.707h的轴向色差,再校正色球差和0.707h的二级光谱色差。