两种坐标变换法：转轴方向和转角符号的确定

图B-2中σ₁和σ₂为动坐标系，σ₀₁和σ₀₂为静坐标系。σ₁和σ₂的起始位置（φ₁=φ₂=0）分别与σ₀₁和σ₀₂重合。通过点M的σ₁→σ₂坐标变换，介绍两种坐标变换法。

1.坐标变换要领

1）新旧坐标系必须有1个对应坐标轴的单位矢量相等，例如，k₀₁=k₁，j₀₂=j₀₁和k₂=k₀₂。否则要建立辅助坐标系，使其坐标轴之一的单位矢量与新坐标系对应坐标轴的单位矢量相等。另一坐标轴的单位矢量与旧坐标系对应坐标轴的单位矢量相等，例如，σ₀₁中j₀₁=j₀₂，k₀₁=k₁；σ₀₂中k₀₂=k₂，j₀₂=j₀₁。

图B-2 坐标变换算例

2）矢量的坐标变换，实为其坐标系的3个单位矢量的变换，图B-2中矢量r₁的σ₁→σ₀₁坐标变换式为

单位矢量变换可视为：初始位置，旧坐标系的3个单位矢量与新坐标系σ₀₁的相等；将其绕新坐标系σ₀₁中与旧坐标系σ₁对应的单位矢量k₀₁，转过φ₁角，即图B-2所示位置；利用矢量回转写出单位矢量变换式。于是式（B-1）可写成

确定坐标变换回转矩阵R[k₀₁，φ]中转轴方向、转角及其符号的方法为：将新坐标系（σ₀₁）绕其与旧坐标系（σ₁）中相等的单位矢量（k₀₁）转动，使其另外两坐标轴的单位矢量也与旧坐标系的相等；转角（φ₁）的符号，按右手定则由转轴的单位矢量（k₀₁）确定。

2.回转矩阵法

图B-2中点M在σ₁里的径矢为

（r₁）₁=x₁i₁+y₁j₁+z₁k₁

已知其坐标值x₁、y₁和z₁。求点M在σ₂里的径矢

（r₂）₂=x₂i₂+y₂j₂+z₂k₂

确定点M在σ₂里的坐标x₂、y₂和z₂。

图B-2中σ₁和σ₂对应坐标轴的单位矢量都不相等，必须设辅助坐标系σ₀₁和σ₀₂将点M的坐标变换分解为：

（1）矢量的σ₁→σ₀₁坐标变换

新坐标系σ₀₁绕其轴k₀₁转过φ₁角，确定σ₁→σ₀₁坐标变换回转矩阵，得到r₁在σ₀₁里的径矢为

（r₁）₀₁=R[k₀₁，φ₁]（r₁）₁ （B-3）

（2）点的σ₀₁→σ₀₂坐标变换(https://www.xing528.com)

由图B-2得到

（r₂）₀₂=（r₁）₀₂+（O₂O₁）₀₂

新坐标σ₀₂绕其轴j₀₂转过-Σ角，确定σ₀₁→σ₀₂坐标变换回转矩阵，得到r₂在σ₀₂里的径矢为

（3）矢量的σ₀₂→σ₂坐标变换

新坐标系σ₂绕其轴k₂转过φ₂角，确定σ₀₂→σ₂坐标变换回转矩阵，得到r₂在σ₂里的径矢为

展开式（B-5），可得到点M在σ₂里的坐标x₂、y₂和z₂，但比较繁复。可不展开式（B-5），直接用计算机计算。

3.单位矢量法

将点的σ₁→σ₂坐标变换分解为：

（1）矢量的σ₁→σ₀₁坐标变换

单位矢量变换可视为：初始位置旧坐标系σ₁的3个单位矢量与新坐标系σ₀₁的分别相等；将其绕新坐标系的k₀₁转过φ₁角到图B-2所示的位置；其单位矢量在新坐标系σ₀₁里由圆矢量函数表示。得到r₁在σ₀₁里的径矢为

式（B-3）展开式与式（B-6）相同。

（2）点的σ₀₁→σ₂坐标变换

点M的σ₀₁→σ₂坐标变换式为

单位矢量变换可视为：初始位置，旧坐标系σ₀₁的3个单位矢量与新坐标系的分别相等；将其先绕k₂转φ₂角，再绕g₂（φ₂）转-Σ角，到图B-2所示σ₀₁位置；式（B-7）中单位矢量变换式可写成σ₂里的球矢量函数，即

式（B-8）展开后得到点M在σ₂里的坐标x₂、y₂和z₂，结果与式（B-5）相同。

用单位矢量法，σ₀₁→σ₂的两次旋转可一次完成变换，但σ₂、σ₀₂和σ₀₁等坐标系的选择，必须符合球矢量函数的形成。