选择坐标系及构建方法：展成环面蜗杆的刀刃Γd，选用与图2-2相同的坐标系

直线刀刃Γ_d双自由度展成环面蜗杆1的齿面Σ₁，选用的坐标系与图2-2相同。环面蜗杆1和刀座的轴交角Σ=90°，曲线刀刃退化为直线刀刃Γ_d，直线刀刃Γ_d与环面蜗杆1相对位置和所选坐标系如图6-2所示。

取动坐标系σ_d（O_d；i_d，j_d，k_d）与刀座固连、σ₁（O₁；i₁，j₁，k₁）与环面蜗杆1固连，k_d和k₁分别与刀座和环面蜗杆1的轴线重合，坐标原点O₁为环面蜗杆1和刀座的两轴线公垂线在环面蜗杆1轴线上的垂足，也为环面蜗杆1的中间平面与其轴线的交点，O_d为直线刀刃所在垂直于刀座轴线的平面与刀座轴线的交点。

图6-2 直线刀刃Γ_d与工件相对位置和所选坐标系

取静坐标系σ₀₁（O₁；i₀₁，j₀₁，k₀₁）与机架固连，k₁=k₀₁，环面蜗杆绕k₀₁回转，转角为φ，在初始位置时σ₁与σ₀₁重合，φ=0。

取辅助静坐标系σ_0e（O_0e；i_0e，j_0e，k_0e）与机架固连，i_0e=i₀₁，j_0e=k₀₁，k_0e=k_d，坐标原点O_e为环面蜗杆1和刀座的两轴线公垂线在刀座轴线上的垂足。a_d=|O₁O_e|=|O_1e|为环面蜗杆1和刀座的两轴线公垂线段长度，a_d=a+Δa，a为蜗杆副中心距，Δa为中心距修形量，不修形时Δa=0。

取辅助动坐标系σ_e（O_e；i_e，j_e，k_e），k_e=k_0e，σ_e绕k_0e回转，转角为i_d1φ，在初始位置时σ_e与σ_0e重合，i_d1φ=0，其中i_d1=1/i_1d，i_1d=i₁₂+Δi，i₁₂为蜗杆副的传动比，Δi为加工环面蜗杆1时传动比的修形量，不修形时Δi=0。s=O_eO_d=O_ed为刀座沿刀座回转轴线的位移，s=p_dδ，p_d为直线刀刃Γ_d相对于σ_e运动的螺旋参数，δ为直线刀刃Γ_d相对于σ_e转动的角度。(www.xing528.com)

转角δ和φ为独立运动参数，当环面蜗杆1回转φ角、刀座沿刀座轴线移动s=p_dδ时，刀座转角φ_d=i_d1φ+δ。当δ=φ=0时，φ_d=0，s=0，σ_d和σ_e与σ_0e重合。

在σ_0e里有

（O_ed）_0e=p_dδk_0e （6-1）

（O_1e）_0e=a_di_0e （6-2）

于是