齿面接触条件的几何特征与运动规律

齿面接触的几何条件为，接触点是两齿面的公共点，而且在该点两齿面有公法线；两齿面接触点处法线方向的速度分量相等，才能连续相切不脱开，即相对速度垂直于齿面接触点处的公法线，是两齿面接触的运动条件。

如图1-1所示，齿面Σ₁和Σ₂的接触条件为

r₂=r₁+O₂₁ （1-8）

n₂=n₁ （1-9）

n₁·V=0 （1-10）

式中 r₂——点M在σ₂里的径矢；

n₂——齿面Σ₂的单位法矢量。

将式（1-6）代入式（1-10），得到

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式中，φ_j为运动参数，，于是得到关于φ_j的共轭条件方程为

Φ_j=n₁·V_j=Φ_j（u，v，φ₁，φ₂，…，φ_n）=0（j=1，2，…，n） （1-12）

关于φ_j的共轭条件函数Φ_j，是齿面Σ₁的参数u、v和n个运动参数的函数。总共有n+2个变量。由式（1-12）得到n个方程，给出两个独立运动参数，即可求解其余n个参数。这表明，一对齿轮传动的自由度一般最多只有两个。下文中令n=2，得到的双自由度啮合理论具有普遍意义，也适合于n=1的单自由度齿轮啮合的情况。

n=2时，给出独立的运动参数φ₁和φ₂，由式（1-12）的两个方程求得u和v值，得到1个接触点，两齿面作点接触，随着φ₁和φ₂的变化，接触点覆盖齿面Σ₂。

n=1时，只有1个运动参数φ₁，式（1-12）只有1个共轭条件方程。给定φ₁，在u和v中给出1个参数，求另一个，随着u和v的变化，在齿面上得到与φ₁对应的一条瞬时接触线；随着φ₁值的变化，瞬时接触线族覆盖全齿面。

当n=2时，由式（1-12）得到两个共轭条件方程。在σ₂里齿面Σ₂的方程为

式中括号外的下角“2”表示矢量变换到坐标系σ₂里。