矩形河谷土石坝纵向地震反应的计算方法

图7.6为矩形河谷土石坝纵向地震反应计算示意图，其中x 为纵向（坝轴向）坐标，y 为横向（顺河向）坐标，z 为竖向坐标。纵向相对位移为u，横向相对位移为v （推导中不计）。坝的上下游边坡为1∶n1和1∶n2。距坝顶z 处取一微六面体，其宽度为nz，其中n＝n1＋n2。

通过受力分析，可推导出大坝纵向动力平衡方程为

图7.6　矩形河谷土石坝纵向地震反应受力分析

当G 为常数时，坝体的自振频率和振型为

式中 Φ （x）——沿x 向 （纵向，坝轴向）的振型；

Φ （z）——沿z 向 （竖向）的振型；

L——坝轴线长，对非矩形河谷，可取坝的平均长度；

μ——泊松比；

β0——第一类零阶贝塞尔函数的根，前5 个根为：β0，1＝2.4048，β0，2＝5.5201，β0，3＝8.6537，β0，4＝11.7915，β0，5＝14.9309。

以上各式中，ω、r 和β0 略去角标n。

表7.3　坝体的自振频率系数ω2H2/（G0/ρ）之值

表7.4 列出几座土石坝实测的纵向地震的自振频率，供设计时参考。

表7.4　1976年1月加州地震（M＝4.2）实测的纵向振动的自振频率　单位：Hz

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振型参与系数η为

表7.5　之值

正则坐标为

式中Y（t）、η、ω′、ω、λ都略去了角标n，r。

位移反应

当G＝常数，剪应变反应为

将式（7.82）代入式（7.80），并利用表7.5，可计算剪应变反应γn，r（z，x，t）。

n，r 振型的剪应力反应为

计算前3～4 阶振型的γn，r（z，x，t）和τn，r（z，x，r），进行叠加即可得到γ（z，x，r）及τ（z，x，t）。

n，r 振型的坝轴向正应变反应为

当G＝常数，n，r 振型的轴向正应变反应为

利用反应谱进行最大反应计算时，也可以只计算坝的两端和中间的最大反应，计算方法参见7.1.1.3 节。