排水有效应力法动力控制方程解析

排水有效应力法动力控制方程的求解及振动孔隙水压力的产生与不排水有效应力法相似。不同的是，排水有效应力法可以进一步考虑振动孔隙水压力的扩散和消散过程。这一过程可按照Biot固结理论来求解（徐志英，沈珠江，1981；徐志英，周健，1985）。由于孔隙水压力的变化和土骨架变形是相互影响的，因此两者需要联立求解。

假定土骨架变形是弹性的，其应力应变关系满足式 （6.7）。将式 （6.7）改写为动力条件下的本构关系式，即

式中 λ、G——拉梅常数；

ud——振动孔隙水压力。

将几何方程式（6.4）代入到物理方程式 （6.12），再代入平衡方程式 （6.3）中，得土体有效应力法动力平衡方程

式 （6.13）可简写成如下形式

假定孔隙水符合达西定律，即

式中 qx、qy、qz——x、y、z 向单位流量；

Kx、Ky、Kz——x、y、z 向渗透系数；

γw——水的重度。

根据饱和土体的连续性条件，即单位时间内土体单元的压缩量等于流过单元体表面的流量变化之和，据此可得到如下连续方程(www.xing528.com)

将式（6.4）和式（6.15）代入连续方程式（6.16）中，得

式 （6.17）是以位移和孔隙水压力表示的连续方程。饱和土体中任一点的孔隙水压力和位移均随时间变化，必须同时满足连续方程式 （6.17）和平衡方程式 （6.13）。将两者联立，共包含4 个偏微分方程，同时含有u、v、w 和p 4 个未知量，它们是坐标和时间的函数。利用初始条件和边界条件，求解该方程组，即可得到孔隙水压力的产生、扩散和消散过程。

下面采用加权余量法推导用于有限元求解的控制方程形式。假设采用如下位移模式和孔隙水压力模式

将式（6.18）和式（6.19）代入式（6.20）～式 （6.23）中，采用分部积分法，并考虑式 （6.4）和式（6.12），得

将式（6.24）～式 （6.27）对时间t 求导，并令Δt 时段内i 结点的位移ui、vi、wi和孔压pi的增量分别为Δui、Δvi、Δwi和Δpi。该时段的初始值为ui0、vi0、wi0和pi0。该时段pi的平均值为pi＋Δpi/2，则式（6.24）～式 （6.27）可以写成如下差分方程

式中 Δfx、Δfy、Δfz——已知边界荷载增量；

Δqn——已知边界渗流增量；

Δud——Δt 时段内的振动孔隙水压力增量。

式（6.28）～式（6.31）是以4n个Δu、Δv、Δw、Δp 为未知量的4n个线性代数方程。