地球内体波和横波传播的速度变化与介质相关

1.纵波 （即初波、膨胀波、P 波）

纵波介质质点呈压缩与扩张位移振动，质点位移的振动方向与波的传播方向一致，这种波亦称压缩波（compressional wave）、膨胀波（dilational wave）或疏密波。

为了说明纵波传播的机理，先考察等截面直杆内均匀压力波或拉力波传播的情况。图1.12 所示一直杆左端a 受一打击力，产生压应力σ。此压应力以速度vp向右传播，经时间t 由a 传播到b，传播距离为vpt，即ab 的长度。此时ab 段为压缩区。在时间t 以后的小时段Δt 内，压缩区从b 扩展到c，bc 的长度为vpΔt，这一段杆的压缩量为

这个值也就是ab 段在Δt 时段内向右位移的值，故ab 段质点的位移速度为

图1.12　直杆纵波传播示意图

在时段Δt 内，脱离体bc 受到的冲量为

式中 A——杆的截面积。

脱离体bc 在Δt 之前位移速度为零；而在Δt 之后，位移速度为u·。故在Δt 时段内的动量为

由于I ＝M，得纵波传播速度为

式中 E——压缩弹性模量；

ρ——介质的质量密度。

拉力波速度的推导同上，其计算公式也与式（1.6）相同，不过E 为拉伸弹性模量。

图1.13　直杆质点位移运动示意图

或

这个方程式的一般解答是由 （x—vpt）或 （x ＋vpt）组成的任意函数 （有二阶导数的）。因此可取

常见的波形是正弦波或余弦波，即

式中 A——振幅，注意式（1.4）、式 （1.5）、图1.13 中的A 为面积；

l——波长；

vp——纵波波速。

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图1.14　无限弹性介质中的竖平面纵波示意图

地震纵波是均匀的无限弹性介质中传播的波，可按平面波考虑，如图1.14 所示。波的传播方向沿着x 轴，质点位移方向与波的传播方向相同。在垂直于x 轴的平面上，所有质点的位移都是同步的。即在同一个平面上，波的相位相同。由于振动，使原来间距相等的许多平面形成时疏时密的间距，这就构成纵波的传播。

用类似图1.13 的方法，对无限弹性介质切取脱离体。作用于脱离体的诸力与该图相同。因此可同样写出动力平衡方程式

由于脱离体的周围是无限弹性介质，其应力应变关系遵循广义虎克定律

式中 μ——介质的泊松比。

代入上式，得到

此微分方程式的解与式（1.10）～式 （1.12）相同，不过波速为

2.横波 （即次波、剪切波、S波）

横波介质质点呈现剪切位移振动，如图1.15 所示。质点位移的振动方向与波的传播方向垂直。介质只有畸变而无体积变化。这种波亦称剪切波 （shear wave）、切变波、畸变波。剪切波又可分为SH 波和SV波。介质呈水平剪切振动的波为SH 波，呈竖直剪切振动的波为SV波。

图1.15　无限弹性介质中的剪切波示意图

图1.16　微元剪切面上力的平衡图

式中 G——剪切弹性模量；

ρ——介质的质量密度；

w——z 方向（竖向）的位移；

——z 方向的位移加速度。

上式可写成

式 （1.19）的解与式（1.10）～式 （1.12）相同，不过，其中vp换成vs。横波不能在液体中传播，因为液体没有抗剪强度，其G 等于零。测定的饱和土的剪切波速，只代表土的性质。另外，水与土骨架相比是相对不可压缩的，故饱和土的纵波速度只代表水的性质。

图1.17　体波在地球内不同深度的传播速度

P波与S波的波速之比

体波在地球内的传播速度随深度增加而加快，如图1.17 所示。P 波、S 波在一些介质中的传播速度见表1.2。

表1.2　各种介质内的波速