随机振动的基础知识简介

关于随机振动基础知识的文献很多[4-6]，这里先从最简单的单自由度结构系统的随机振动谈起。单自由度随机振动问题虽然形式简单，但是其内涵与求解思路很容易推广到多自由度结构的随机振动问题中。单自由度时域上的振动微分方程如下：

式中 m——给定系统本身的质量；

k——刚度；

c——阻尼。

如果右端的力输入f（t）为随机变量，则位移输出x（t）也将是随机变量。

随机变量是不确定变量，因而不能用确定函数表示，但是它们可以用统计量表示，例如均值、均方值、概率分布函数、概率密度函数等，其中概率密度函数可以用来估计随机振动导致的疲劳寿命。

对式（9-17）两端进行傅氏变换后得：

-ω²mX（ω）+jwcX（ω）+kX（ω）=F（ω） （9-18）

整理式（9-18）得：

式（9-19）即是系统的频率响应函数H（ω），它是输出X（ω）傅氏变换与输入F（ω）傅氏变换之比。式（9-19）中频率响应函数的概念十分重要，因为它反映了结构的固有频率响应特性，在给定结构系统本身的质量m、刚度k、阻尼c的情况下，输入与输出之间的关系仅由输入的频率成分确定。

在多自由度的情况下，频率响应函数H（ω）的表达形式与单自由度的相同，见式（9-20），只是式中的K、M、C分别是结构系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵

假如系统的频率响应函数已知，还可以证明其输入与输出的统计均值存在以下关系：

μ_x（t）=μ_f（t）H（0） （9-21）

即输出的均值μ_x（t）等于输入的均值μ_f（t）乘以频率响应函数在0点的值H（0），类似还可以证明输入与输出的谱密度函数之间存在以下关系：

S_x（ω）=|H（ω）|²S_F（ω） （9-22）

式（9-22）很重要，因为一旦构建了频率响应函数，那么就可以从已知的输入谱密度函数求解输出的谱密度函数（正问题），或者可以从已知的输出谱密度函数求解输入的谱密度函数（反问题）。

除了频率响应函数这个概念之外，脉冲响应函数h（t）（Impulse response function）的概念也十分重要。

在本章前面讨论振型叠加法时曾经提到复杂振动可以分解为一系列单自由度振动的叠加，在求解单自由度任意激励的响应时需要用杜哈梅（Duhamel）积分，杜哈梅积分就是利用了脉冲函数的特点将一个任意激励分解为一系列单位脉冲激励的叠加。

对于正态分布的线性系统的平稳随机过程，还有以下关系：

式（9-23）表明响应的随机变量x（t）可以看成是无数个f（τ）的加权叠加。

对于更多自由度的随机振动响应，与上面讨论的求解思路是一样的，不过需要考虑多自由度的频率响应函数。

鉴于频率响应函数的重要性，下面用文献[3]中的一个简单问题给出频率响应函数的计算过程。

一个极为简单的行驶在不规则路面上的车辆结构的动力学模型可以简化为两自由度的振动系统，如图9-9所示。与第一个自由度相关的结构参数是质量m₁、阻尼c₁、刚度k₁；与第二个自由度相关的结构参数是质量m₂、阻尼c₂、刚度k₂。(www.xing528.com)

路面垂向几何不平顺u导致的垂向加速度的功率谱已知，首先对每个自

图9-9 两自由度的振动系统

由度建立振动微分方程：

设相对位移：

y₁=x₁-uy₂=x₂-x₁ （9-25）

从而得到关于相对位移的微分方程：

式中：

对上述方程进行傅氏变换得：

于是得到频率响应函数：

式中

由于绝对加速度：

所以有

将式（9-29）代入式（9-32）后，该问题的两个频率响应函数：

可以证明，线性系统在多输入与多输出的情况下，输出的谱密度函数与输入的谱密度函数之间的关系，也有类似于单输入与单输出的通用频率响应函数的变换关系，不过在描述时也需要用矩阵形式。