深入了解模态的基础知识

在结构微振动理论中，如果无阻尼系统仅有一个自由度，如图5-2所示的一个自由度的弹簧系统，它的振动微分方程是：

式中 m——质量；

k——刚度；

x（t）——位移；

f（t）——载荷输入。

当式（9-1）右端载荷f（t）为零时，因为没有阻尼c，因此系统为自由振动，即系统离开平衡位置的振动仅有内部能量交换，或者动能与弹性位能之间的互相交换。如果有阻尼，则系统有能量耗散。为简化推导过程，先忽略阻尼的存在。

事实上，对类似于轨道车辆结构系统而言，它是多自由度振动系统，其振动形态是相当复杂的，因为多自由度振动系统中各自由度的振动是互相耦合的。

下面以图9-1所示的三个自由度的自由振动系统为例来说明耦合是怎样产生的。

图9-1 三个自由度的自由振动系统

假设忽略阻尼，系统中三个质量（m₁、m₂、m₃）的位移y₁、y₂和y₃均以平衡位置作为自己的初始参考零点，已知弹簧的刚度为k₁、k₂、k₃，那么根据基于动平衡的达朗伯尔原理，很容易写出每个自由度的运动方程。

仔细观察式（9-2）中的每一个方程，发现它们均因含有一个以上的未知位移而不能独立求解，这就是所谓的方程耦合，式（9-2）可以写成矩阵形式

式中 ，

M称为系统的质量矩阵，K称为系统的刚度矩阵，对于任何保守的多自由度系统来说，K总是对称矩阵，但同时它也是非对角矩阵，其对角元素以外的非零元素是系统自由度耦合的结果。

式（9-3）的解可以假设为：

y₁=A₁sin（ω_nt+φ）

y₂=A₂sin（ω_nt+φ）

y₃=A₃sin（ω_nt+φ） （9-4）

将式（9-4）及其二阶导数代入到式（9-3）之中，整理以后用矩阵形式表示则有：(www.xing528.com)

（K-Mω²_n）A=0 （9-5）

式中 A——振型向量，Α=（A₁A₂A₃）^T。

由于振动过程中，A₁、A₂与A₃不能同时为零（同时为零意味着静止状态），所以式（9-5）的系数矩阵对应的行列式必须等于零，即：

|K-Mω²_n|=0 （9-6）

将式（9-6）展开后可以得到一个关于ω²_n的三次代数方程，解此方程可得到ω²_n的三个正根，或三个正的ω_n1、ω_n2、ω_n3值，这些值即为该系统的三个固有的自振频率，因为它们仅由系统的刚度与质量决定，因此称为固有频率。

将从式（9-6）求得的每一个特征值ω²_n回代到式（9-5），即得与其对应的振型向量，对于n个自由度的振动体系，有n个自振频率和对应的n个振型向量。

上述结构振动耦合是在其物理坐标系中发生的，但是利用结构系统的某些特殊的正交性质，振动解耦是可以实现的，因为理论上已经证明了各个振型旋转以后互相正交。为此，引入一组新的坐标ξ=（ξ₁，ξ₂，…，ξ_n）^T，并使新的坐标ξ与原物理坐标y之间构成线性变换，即

式中 ϕ_i——第i阶主振型；

ξ——模态坐标（Modal coordinate）。

这相当于在n维向量空间中ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_n构成了一组互相正交的向量基底，而原物理坐标系下定义的n个自由度系统的振动形式，则为n个正交的主振型的线性组合，而ξ_i则为第i个主振型（主模态）对系统振动的参与因子（或加权因子）。

假设系统阻尼很小可以忽略不计，或者系统的阻尼为比例阻尼，则利用上述坐标变换，可以将考虑阻尼的振动方程变换为互相独立的振动方程的矩阵形式，见式（9-8），或者n个相互独立的单自由度的振动形式，见式（9-9）：

在新的模态坐标系下，系统各自由度能量不互相交换，因此不存在耦合。式（9-8）中每一个方程的响应可以单独求解，例如用杜哈梅（Duhamel）积分求其响应。求解以后，每个单自由度振动方程的解为

将每个单自由度的解代入式（9-9），则原问题的解为：

式（9-11）很有价值，因为它表示一个线性结构系统的振动响应分解为若干个简单的单自由度振动响应的叠加。

工程上我们不必考虑每一个自由度的振动，因为理论已经证明：很高阶以上的振动能量贡献很小，可忽略不计。

式（9-11）是振型叠加法求解的基本公式之一，也是下面要讨论的模态结构应力的基本公式之一。