BCH码：循环码的重要子类

BCH码是循环码中的一个重要子类,它具有纠多个随机错误的能力,BCH码有严密的代数结构,是目前研究得最为透彻的一类码。其生成多项式g(x)与最小码距之间有着密切的关系,人们可以根据所要求的纠错能力t,很容易地构造出BCH码。它们的译码也很容易实现,是线性分组码中应用很广的一类码。

BCH码、汉明码和某些大数逻辑可译码都属于本原循环码。本原循环码的特点是:

(1)码长为2m-1,m为正整数;

(2)它的生成多项式是由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘构成的。

要确定(2m-1,k)循环码是否存在,只需要判断2m-1-k阶的生成多项式是否能由x2m-1+1的因式构成。

由代数理论可知,每个m阶既约多项式一定能除尽x2m-1+1。例如,对于m=5,共有6个5阶既约多项式:

这6个多项式都能除尽x31+1。此外,还知道x+1必定是x31+1的因式。因此有

用这种手工凑算的方法来进行因式分解显然很困难,现在用计算机进行因式分解,并将结果列成表,需要时可在有关资料中查到。

若循环码的生成多项式具有如下形式:

式中,t为纠错个数,mi(x)为最小多项式,LCM表示取最小公倍式。由这类生成多项式生成的循环码称为BCH码,它的最小码距dmin≥2t+1,能纠t个错误。BCH码的码长为n=2m-1或是2m-1的因子。码长为n=2m-1的BCH码称为本原BCH码,又称为狭义BCH码。码长为2m-1因子的BCH码称为非本原BCH码。由于g(x)有t个因式,且每个因式的最高阶次为m,所以监督码元最多为mt位。(www.xing528.com)

对于纠正t个错误的本原BCH码,其生成多项式为

它的最小码距为dmin=2t+1。纠正单个错误的本原BCH码,就是循环汉明码。

(23,12)码是一个特殊的非本原BCH码,称为戈雷码。该码码距为7,能纠正3个随机错误,其生成多项式为

是一个完备码,它的监督位得到了最充分的利用。

BCH码的码长为奇数。在实际使用中,为了得到偶数码长,并增加其检错性能,可以对(n,k)BCH码增加1个全校验位,则变成一个(n+1,k)码,称它为扩展BCH码,扩展BCH码的码长为偶数,码距增加1。但是扩展BCH码的每个码字之间不一定存在循环关系,其不再是循环码。

BCH码的译码方法可以有时域译码和频域译码两类:

·频域译码是把每个码组看成一个数字信号,把接收到的信号进行离散傅里叶变换,然后利用数字信号处理技术在“频域”内译码,最后进行傅里叶反变换得到译码后的码组。

·时域译码则是在时域上直接利用码的代数结构进行译码。时域译码的方法又有多种。纠多个错误的BCH码译码算法很复杂,这里不作介绍,有兴趣的读者可参考有关文献。