循环码的特点及应用

循环码有两个数学特征:

(1)线性分组码的封闭性。

(2)循环性,即任一许用码组经过循环移位后所得到的码组仍为该许用码组集合中的一个码组。

表10.4.1列出了某(7,3)循环码的全部码组。

表10.4.1　(7,3)循环码组

以2号码组(0010111)为例,左移循环一位变成3号码组(0101110),依次左移一位构成的状态图如图10.4.1所示。

图10.4.1　依次左移一位构成的状态图

可见除全零码组外,不论循环右移或左移,移多少位,其结果均在该循环码组的集合中(全零码组自己构成独立的循环圈)。

为了用代数学理论研究循环码,可将码组用多项式表示,称为码多项式。循环码组中各码元分别为多项式的系数。长度为n的码组A=(an-1an-2…a1a0)用码多项式可表示为

式中,x的幂次是码元位置的标记。在循环码移位过程中,它表示移位的次数。左移一位就使码多项式的幂次增高一位,循环左移i位后的码组即为将多项式乘以xi后再进行模(xn+1)运算得到的结果。(www.xing528.com)

若将上述许用码组向左循环移一位得到的码组记作A(1)=(an-2an-3…a0an-1),其码多项式为

若左移i位后的码组A(i)=(an-i-1an-i-2…an-i+1an-i),其码多项式为

A(i)(x)可以用下式由xiA(x)求得:

式中,Q(x)是xiA(x)除以(xi+1)的商式,而A(i)(x)是所得的余式。式(10.4.4)也可表示为

在A(x)的表达式中,系数ai=0的项常略去不写,ai=1的项只写符号x及其幂次。

码多项式之间可以进行代数运算,在二元码中遵循模2运算的规则。根据线性码的封闭性,任意两码字经模运算后仍为本码组中的码字。

从代数学的角度,每个二进制码组可以看成是只有0和1两个元素的二元域中的n重。所有二元n重的集合称为二元域上的一个矢量空间。二元域上只有两种运算,即加和乘,所有运算结果也必定在同一个二元集合中。在二元域中加和乘的运算规则定义为

这里,⊕为模2和运算,以后都简写为+。在码元多项式运算中遵从上述运算规则。