如何修正抽样信号混叠失真问题？

要把时间和幅度都连续的模拟信号变为数字信号,就要对其进行离散化处理。抽样就是实现模拟信号在时间上离散化的过程,即由它完成抽取离散时间点上的信号值(常称为样值)的任务。该过程必须严格遵循抽样定理。

模拟通信系统传输的是模拟信号的波形,而模拟信号的数字传输,传输的是模拟信号经抽样、量化、编码后的样值,显然从波形上看,后者只传输了部分波形,如果这部分波形代表了模拟信号的全部信息,就说明模拟信号的波形中存在冗余。如果只传部分波形的想法是可行的,从效率的角度来看,我们希望包含模拟信号全部信息的样值越少越好,即样值越稀越好,显然无限稀是不可能的,那么稀到什么程度是合适的?这将是抽样定理告诉我们的内容。

抽样定理 频谱成分限制在fm以下的带限信号f(t),可以用时间上小于或等于12fm间隔的样值序列f(kTs)无失真地恢复f(t)。

抽样定理表明,要能无失真地从样值序列中恢复原来的带限信号f(t),抽样间隔Ts或抽样速率fs必须满足下面的条件:

或

通常取等号的最小抽样速率fs叫做奈奎斯特速率;最大抽样间隔Ts叫做奈奎斯特间隔。由于抽样间隔是相等的,所以也叫做均匀抽样定理。

带限信号可用离散样值序列精确恢复,这在信号理论中具有很大的价值,它意味着一个连续信号所具有的无限个点的信号值,可减少为可数个点的信号值序列。这就使得在一些孤立的瞬时处理信号成为可能。例如:将波形的抽样值转换为具有有限位数的数字代码,实现数字化,因而能被计算机或其他数字电路处理;也可以将多个信号的抽样值在时间上相互穿插,实现多路复用等。因此,抽样定理是数字通信中最基本、最重要的定理之一,是模拟信号数字化、时分多路复用等的理论依据。

1.从频域证明抽样定理

抽样的数学模型是一乘法器,如图8.2.1(a)所示。

假设f(t)是被抽样的模拟信号,其频谱为F(ω),该信号的频谱限制在ωm=2πfm之内,如图8.2.2(a)所示。

δT(t)是理想的单位冲激脉冲序列,做抽样信号,其频谱为δT(ω),如图8.2.2(b)所示。

图8.2.1　抽样与恢复模型

式中,Ts是时域抽样间隔;ωs=是抽样信号周期性频谱的周期。式(8.2.3)表明,周期为Ts的单位冲激序列的频谱还是理想冲激序列,只是周期变为ωs=幅度变为ωs。

由图8.2.1所示的时间离散化模型可得,抽出的样值信号fs(t)是模拟信号f(t)与单位冲激序列δT(t)的乘积,其频谱为Fs(ω),如图8.2.2(c)所示。

图8.2.2　低通信号的抽样与恢复

利用卷积定理可得式(8.2.4)的傅里叶变换为

所以

从图8.2.2(c)及上式可以看出:抽样后样值序列信号fs(t)的频谱Fs(ω),等于原模拟信号的频谱F(ω)的周期延拓,延拓周期是ωs,且幅度成为原来的1/Ts。

仔细研究图8.2.2(c),可以看出:

(1)当抽样频率fs满足2πfs=ωs≥4πfm=2ωm时,周期延拓后的频谱不会出现重叠,因而可以用截止角频率为ωm的理想低通滤波器(LPF),从样值序列信号fs(t)的频谱Fs(ω)中滤出原来模拟信号的频谱F(ω)。恢复的模型如图8.2.1(b)所示。这正是抽样定理所要求的。

(2)当抽样频率fs太小,以至于ωs＜2ωm时,周期延拓后的频谱就会出现重叠,如图8.2.3所示。这时用任何滤波器都无法不失真地恢复原来的模拟信号,这种由于频谱混叠产生的失真,称为混叠失真或折叠失真。

图8.2.3　当抽样频率ωs＜2ωm时,样值序列的频谱产生混叠失真

修正混叠失真的方法首先是在抽样之前对消息信号进行滤波,使之成为带限的信号。然后则需要足够高的抽样频率满足ωs≥2ωm,以包含消息频谱的有效部分。此外还需要低通滤波器有好的低通滤波性能。

以上的分析从频域证明了抽样定理是正确的。

2.从样值序列fs(t)中恢复原模拟信号f(t)

从图8.2.2(c)、(d)可以看出,从样值序列中恢复原模拟信号的过程相当于让Fs(ω)通过传输函数为H(ω)的低通滤波器,恢复模型如图8.2.1(b)所示。因此通过滤波器后的输出为

或者

式中,由式(8.2.4)和式(8.2.5)可得

而在图8.2.2(d)中理想低通滤波器(LPF)的输出函数

式中,Sa(x)=是抽样函数。

因此,由式(8.2.8)根据卷积定理可得

如果取ωs=2ωm,那么,于是

该式表明,任何一个频带有限的信号f(t)可以展开成以抽样函数Sa(x)为基本信号的无穷级数,级数中各分量的相应系数就是原带限模拟信号在相应抽样时刻t=nTs上的抽样值,如图8.2.2(e)所示。

这就是说,任何一个频带受限的模拟信号,只要用满足抽样定理的抽样频率进行抽样,就可以用这些抽样值来确定原模拟信号。这从时域上证明了抽样定理。

3.非理想抽样和抽样保持

(1)非理想抽样

在前述抽样定理中,采用的抽样函数是单位冲激脉冲序列δT(t),对这样的抽样,常常称为理想抽样。但实际中,不可能产生无限窄脉宽的单位冲激脉冲信号δ(t),因此可以用矩形脉冲序列sT(t)做抽样信号,如图8.2.4所示。

图8.2.4　非理想抽样示意图

式中,s(t)是幅度为1、脉宽为τ(τ＜Ts)的矩形脉冲;Ts是抽样间隔(即抽样周期),ωs=

抽样后的样值序列为fs(t),在抽样脉宽内,它保留了模拟信号的波形,因此称其为自然抽样。像自然抽样这样,用非单位冲激脉冲序列进行抽样的时间离散化过程称为非理想抽样。

其频谱为

将式(8.2.15)与理想抽样的频谱表示式(8.2.6)相比可以看出,非理想抽样序列的频谱也是模拟信号频谱F(ω)的周期延拓,延拓周期也是ωs=,所不同的是,每次延拓的模拟信号频谱F(ω-mωs)前的系数不同,为,这样的频谱关系如图8.2.4所示。也就是说,矩形脉冲抽样的样值序列的频谱Fs(ω),不是原来带限模拟信号频谱的等幅周期延拓,延拓幅度随着m的增大按而衰减,因此,随着m的增大延拓频谱的幅度在衰减,但形状不变。

由此可以得到这样的结论:用矩形脉冲序列抽样,只要抽样的速率fs满足fs≥2fm,同样可以用理想低通滤波器从样值序列的频谱中滤出原模拟信号的频谱,做到无失真地恢复原模拟信号。而这种抽样值在脉宽内保留原模拟信号自然形状的抽样,也常称为曲顶抽样。

(2)抽样保持

在实际的模/数变换中,也不宜采用矩形脉冲做抽样信号,因其在抽样脉宽内样值的幅度是随时间而变化的,为其后的量化带来困难。实际中先用窄脉冲序列进行近似理想的抽样,而后再经过展宽电路保持抽出的样值在脉宽内不变,从而形成平顶的样值序列,供其后的量化、编码之用。

图8.2.5　抽样保持模型

窄脉冲抽样后再做展宽,形成平顶的样值序列,这一过程称为抽样保持或瞬时抽样、平顶抽样。模型如图8.2.5所示。其中展宽电路是用来形成矩形脉冲的,可由线性电路实现,传递函数为H(ω)。(www.xing528.com)

由图8.2.5可以看出,平顶抽样是先进行满足抽样定理的理想抽样,然后再脉冲展宽,因此其输出fH(t)为

将理想抽样的样值频谱Fs(ω)表达式(8.2.6)代入式(8.2.16),有

在接收端,让平顶的样值序列通过截止频率为模拟信号最高频率fm的理想低通滤波器,在满足抽样定理的前提下,输出为

由于H(ω)是ω的函数,所以Fo(ω)≠kF(ω),k为常数,即通过低通滤波器后的模拟信号不能正比于原来的被抽样的模拟信号,产生了失真。这种由于脉冲展宽引入的失真称为孔径失真。

为了修正孔径失真,在接收端通过理想低通滤波器之后,再让其过一个孔径均衡网络,其传递函数是展宽电路传递函数的倒数,即1/H(ω),从而抵消孔径失真。模型如图8.2.6所示。恢复过程为

图8.2.6　平顶抽样信号的恢复

在工程设计中,考虑到信号绝对不会严格带限,以及实际滤波器特性的不理想,通常取抽样频率为2.5fm～5fm,使延拓的各频谱相互隔开,隔开的频段称为防卫带。这样,既避免混叠失真,又降低了接收端低通滤波器实现的难度。例如,话音信号带宽通常限制在3400Hz以下,而抽样频率通常选择8000Hz,防卫带是8000-3400×2=1200(Hz)。

但并不是抽样频率越大越好,抽样频率越大,单位时间内抽出的样值就越多,信道传输的负担就越重,效率就越低,设备也越复杂,因此,抽样频率大于2fm,并留够防卫带即可。

(3)脉冲幅度调制PAM系统

从上面的分析可以看出,不论是理想抽样、自然抽样,还是平顶抽样,已抽样脉冲的幅度都随信号幅度的变化而变化,因此它们都属于脉冲幅度调制PAM。对这样的信号,由前面的分析可知,可以用一个截止频率等于模拟带限信号最高频率的理想低通滤波器来恢复原模拟带限信号,因此,脉冲幅度调制PAM系统如图8.2.4(d)所示。

需要说明的是,实际上用任何形状的脉冲做抽样信号,都不影响抽样的实质。

例8.2.1 已知一基带信号m(t)=cos2πt+2cos4πt,对其进行抽样。

(1)为了在接收端能不失真地从已抽样信号ms(t)中恢复m(t),试问抽样间隔应为多少?

(2)若抽样间隔取为0.2s,试画出已抽样信号的频谱图。

解 (1)基带信号m(t)中最大角频率为

由抽样定理可得抽样频率为

所以抽样间隔为

(2)由题意可知,

因为ms(t)=m(t)δT(t),所以由式(8.2.6)得

式中,ωs=2π/Ts=10π。将M(ω)代入上式,得

抽样信号的频谱图如图8.2.7所示。

图8.2.7　例8.2.1题图

4.带通型信号的抽样定理

上述抽样定理是在假设信号频带宽度被限制在fm以下得到的,因此这样的信号也称为低通型信号,该抽样定理也称为低通型抽样定理,其对任何带限信号都成立。但是,如果模拟信号的频带不是限制在0～fm之间的,而是限制在fL与fH之间,fL为信号最低角频率,fH为信号最高角频率,而且当fL＞B(B=fH-fL)时,该信号通常称为带通型信号,B为带通信号的频带。

显然,对于带通型信号如果仍采用低通信号抽样定理进行抽样,由于太高的抽样速率,使抽样所得样值序列的频谱中存在大段的频谱空隙。这虽然有助于消除频谱混叠,但从提高传输效率考虑,应尽量降低抽样速率,让延拓的频谱在频率轴上排密些,只要不产生频谱混叠,留够防卫带就可以了。可以证明,对带通型频谱的信号而言,抽样速率可以小于最高截止频率的2倍,即不满足ωs≥2ωH。

带通型信号F(ω)如图8.2.8所示,fL＞B(B=fH-fL),n是小于或等于fL/B的最大正整数,所以在(-fL,fL)之间可以放n对边带(上、下边带称为一对)。

图8.2.8　带通型信号的抽样定理

由图8.2.8可见,抽样使下边带右移n次时,如要不产生混叠,则必须满足

即

同理:抽样使下边带右移n+1次时,如要不产生混叠,则必须满足

即

综合考虑式(8.2.18)和式(8.2.19),可以得到带通型信号的抽样定理描述如下:

带通型模拟信号f(t),其频谱限制在fL与fH之间,则抽样速率满足如下关系,就不会发生频谱重叠,且可以不失真地用滤波器恢复原信号f(t)。

式中,n是小于或等于fL/B的最大正整数。

如果进一步要求各相邻边带之间的防卫间隔相等,则可按如下公式选择抽样速率:

例8.2.2 试求载波60路超群信号(312～552kHz)的抽样频率。

解 B=f2-f1=552-312=240kHz

按式(8.2.19)求得最小抽样速率为

按式(8.2.18)求得最大抽样速率为

按式(8.2.21)得到等防卫间隔的抽样速率为

如果该60路超群信号按照低通型抽样定理求解抽样速率,则为

显然,这个抽样速率远远大于前面的结果,在都不产生频谱混叠的情况下,带通型抽样速率远小于低通型抽样速率。

在应用式(8.2.20)和式(8.2.21)时应注意,若＜1,表示0～fL频段安排不下一个边带,这样的信号仍应按低通型信号处理,即按fs≥2fH的要求来选择抽样频率。