平稳随机过程经线性系统处理

平稳随机过程X(t),通过单位冲激响应为h(t)的线性系统后,其输出仍是随机过程Y(t),如图2.9.1所示。

图2.9.1　一个随机过程X(t)通过线性系统

就一次试验而言,输入x(t)和输出y(t)均为确知信号,它们之间应满足卷积关系

由随机过程的概念可知,所有试验样本的集合{yi(t),i=1,2,…}就是输出随机过程Y(t)。若每次试验式(2.9.1)都存在,则在均方意义下,随机输出过程Y(t)等于输入过程X(t)与系统单位冲激响应h(t)的卷积,即

1.输出随机过程的数学期望

假设输入平稳随机过程X(t),其均值为E[X(t)]=ax,那么,经过线性系统h(t)↔H(ω)之后,输出随机过程Y(t)的数学期望E[Y(t)]等于输入随机过程的数学期望ax与H(0)相乘,它是一个常数。即

其物理意义为:平稳随机过程通过线性系统后,输出的直流分量E[Y(t)]等于输入的直流分量E[X(t)]=ax乘以系统的直流传递函数H(0)。

2.输出随机过程的自相关函数

假设输入平稳随机过程X(t),其相关函数为Rx(τ),那么,经过线性系统h(t)↔H(ω)之后,输出随机过程的自相关函数Ry(τ)只依赖于时间间隔τ,而与时间起点t无关。

由自相关函数的定义,有(www.xing528.com)

由式(2.9.4)可以看出:二次积分之后,输出随机过程的自相关函数Ry(τ)只依赖于时间间隔τ,而与时间起点t无关。

由以上两个性质可以得到这样的结论:平稳随机过程经过线性系统之后,输出仍是平稳随机过程。

3.输出随机过程的功率谱密度

假设输入平稳随机过程X(t),其功率谱密度为px(ω),那么,经过线性系统h(t)↔H(ω)之后,输出随机过程的功率谱密度py(ω)等于输入随机过程功率谱密度px(ω)与系统传递函数模平方|H(ω)|2之积。

由前述两个性质可知,输出随机过程是平稳过程,因此输出随机过程的功率谱密度函数py(ω)等于其自相关函数Ry(τ)的傅里叶变换,

令τ′=τ+u-v,代入式(2.9.5),得

由以上推导得到这样的结论:线性系统输出的平稳随机过程的功率谱密度py(ω)是输入平稳过程的功率谱密度px(ω)与线性系统传递函数模平方|H(ω)|2之积。

4.输出随机过程的分布

假设输入的是高斯过程X(t),经过线性系统h(t)之后,其输出过程Y(t)仍是高斯过程,只是其数字特征和功率谱密度函数与输入不同。因为由前面的介绍,可以得到

式(2.9.7)说明,Y(t)是高斯过程X(t)的线性组合,由高斯过程的性质知,Y(t)也是高斯过程。