均值为零、方差为σ2的平稳高斯窄带随机过程的统计特性

(1)均值为零、方差为σ2的平稳高斯窄带随机过程,其同相与正交随机过程X(t)、Y(t)的均值也为零,方差也为σ2。

因为若要

则必有

关于方差的证明放在求解自相关函数之后。

(2)平稳高斯窄带随机过程的同相与正交分量X(t)、Y(t)也是平稳高斯过程。

对于该性质,本书只给出一般性描述。高斯窄带随机过程ξ(t)在任意时刻ti都对应着高斯分布的随机变量ξ(ti):

其中,X(ti)=Z(ti)cosφ(ti),Y(ti)=Z(ti)sinφ(ti)。

可见X(ti)、Y(ti)是同分布的随机变量。而它们的线性组合是高斯随机变量ξ(ti),因此,X(ti)、Y(ti)也是高斯变量。X(t)、Y(t)是高斯随机过程。

(3)平稳高斯窄带随机过程的同相与正交分量X(t)、Y(t)在同一时刻的取值是不相关的,也即是相互独立的随机变量。

下面来求解平稳高斯过程的相关函数R(τ)。

其中,

如取令sinω0t=0的所有t值,则式(2.6.7)简化为

因为ξ(t)是平稳高斯过程,因此其自相关函数与t无关,只与时间间隔τ有关,因此应有

将式(2.6.9)代入式(2.6.8)有

如取令cosω0t=0的所有t值,式(2.6.7)简化为

同理应有

将式(2.6.12)代入式(2.6.11)有

综上所述,可以得出平稳高斯窄带过程的同相分量、正交分量均为平稳高斯过程。

若要让式(2.6.10)和式(2.6.13)同时成立,显然应当满足

又由互相关函数的定义可得(www.xing528.com)

将式(2.6.16)代入式(2.6.15)有

同理可得

由式(2.6.17)和式(2.6.18)可以看出,X(t)、Y(t)的互相关函数RXY(τ)、RYX(τ)都是奇函数,有

式(2.6.19)说明,在同一时刻X(t)、Y(t)的取值是不相关的随机变量,又因为它们都是高斯变量,因此它们统计独立。

下面再考察式(2.6.10)和式(2.6.13),在τ=0时,有

式(2.6.20)说明,ξ(t)、X(t)、Y(t)三个随机信号具有相同的平均功率。

另外,式(2.6.14)说明,窄带高斯过程的同相分量和正交分量有相同的自相关函数。

(4)现在可以得到零均值、σ2方差的平稳高斯随机过程相互独立的X(t)、Y(t)的联合概率密度函数f(x,y)为

(5)依据X(t)、Y(t)的联合概率密度函数f(x,y),求解高斯窄带随机过程准正弦表示式中随机包络Z(t)和随机相位φ(t)过程的统计特性。

依据概率论中的知识,可以得到随机包络Z(t)和随机相位φ(t)的联合概率密度函数为

其中是雅克比行列式,可以由式(2.6.4)关于x、y与z、φ的关系求得:

将式(2.6.23)代入式(2.6.22),可以求得随机包络Z(t)和随机相位φ(t)的联合概率密度函数为

注意:因为Z(t)是包络过程,所以应有z≥0,而φ在区间(0,2π)内取值。

(6)依据Z(t)、φ(t)的联合概率密度函数f(z,φ),求解边际概率密度f(z)和f(φ)

由式(2.6.25)可以看出,包络过程的一维统计特性服从瑞利分布。

由式(2.6.26)可以看出,相位过程的一维统计特性是在区间(0,2π)内的均匀分布。

由式(2.6.25)和(2.6.26)可以看出,有:

因此,在同一时刻得到的包络随机变量和相位随机变量统计独立。

总结以上对平稳高斯窄带随机过程的分析,可以得到如下的结论:均值为零、方差为σ2的平稳高斯窄带随机过程,其同相分量和正交分量是平稳高斯随机过程,而且均值都为零,方差都为σ2,在同一时刻,得到的同相和正交随机变量相互独立;平稳高斯窄带随机过程的随机包络过程的一维统计特性服从瑞利分布,随机相位过程的一维统计特性服从均匀分布。在同一时刻得到的包络随机变量和相位随机变量统计独立。