(1)高斯过程ξ(t)的全部统计特性由它的一阶(均值、方差)和二阶(协方差函数)统计特性完全确定。
这是因为从式(2.5.1)可以看出,高斯随机过程ξ(t)的n维联合概率密度函数是由n个随机变量的均值(ak=E[ξ(tk)],k=1,2,…,n)、方差(σ2k=E[ξ(tk)-ak]2,k=1,2,…,n),以及这些随机变量两两之间的协方差函数(bjk,j,k=1,2,…,n)完全确定的。
(2)高斯过程ξ(t)如果是宽平稳的话,也将是严平稳过程。
这一性质已在介绍随机过程的平稳性时作过阐述。
(3)如果对高斯过程,在n个不同时刻t1,t2,…,tn进行采样,所得一组n个随机变量ξ(t1),ξ(t2),…,ξ(tn)两两之间互不相关,即
则这些随机变量也是相互独立的。
因为ξ(t1),ξ(t2),…,ξ(tn)两两之间互不相关,就有j≠k时,bjk=0;j=k时,bjk=1。所以,随机过程归一化协方差矩阵的行列式B是n阶单位矩阵,将此结论代入式(2.5.1)得
式(2.5.3)表明,若高斯随机过程的随机变量之间互不相关,则它们之间互相统计独立,其n维联合概率密度函数等于n个一维高斯概率密度函数之积。对于高斯过程来说,不相关与独立是等价的。该结论可推广到多个高斯过程的情况中,如两个高斯过程不相关,则它们也是相互独立的。
(4)高斯过程经过线性变换仍是高斯过程。
例2.5.1 随机过程ξ(t)=Acosω0t+Bsinω0t,其中ω0是常量,A、B是两个互相独立的高斯随机变量。它们有:E[A]=0,E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2。试求此过程的自相关函数和一维概率密度函数。(www.xing528.com)
解 依题意以及高斯过程经过线性变换仍是高斯过程的性质可知,随机过程ξ(t)也是高斯过程。因此要求出该过程的均值、方差和协方差函数。
高斯随机过程ξ(t)的均值为
高斯随机过程ξ(t)的相关函数为
由于,A、B是两个互相独立的高斯随机变量,所以有
代入(2)式,有
由(1)、(3)式可知,该高斯过程是一个宽平稳过程,也即严平稳过程。
由(3)式可以求出该过程的方差为
高斯随机过程ξ(t)的一维概率密度函数为
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