平稳随机过程的概念及统计特性

1.平稳随机过程

一个随机过程ξ(t),如果在时域上时移τ,而其统计特性不变,则称之为严格的平稳随机过程(或狭义平稳过程)。以概率密度函数来表示,其平稳性可描述为

所以,平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而改变。例如,今天测得某个随机过程的统计特性,与上次(可能是一个月前)测得的统计特性是一样的。

2.平稳随机过程概率密度函数的基本性质

(1)平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关

因为

(2)平稳随机过程的二维概率密度函数与时间的起点无关,只与时间间隔τ有关

由f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;t1,t1+τ)=f2(x1,x2;t1+ε,t1+τ+ε),令t1+ε=0,所以有

3.平稳随机过程的数字特征

(1)数学期望和方差

平稳随机过程ξ(t)的数学期望、方差和均方值都与时间t无关,是常数。

这是因为,数学期望、方差和均方值反映的都是随机过程的一维统计特性,而平稳随机过程ξ(t)的一维概率密度函数由式(2.4.2)可知与时间t无关。

(2)自相关函数

平稳随机过程ξ(t)的自相关函数只与时间间隔τ有关,与时间的起点无关,即

其中,τ=t2-t1。

这是因为,平稳随机过程ξ(t)的二维概率密度函数由式(2.4.3)可知与时间的起点无关,只与时间间隔τ有关。

(3)协方差函数

平稳随机过程ξ(t)的协方差函数只与时间间隔τ有关,与时间的起点无关,即

例2.4.1 有一随机相位信号为ξ(t)=Asin(ω0t+Φ),其中A、ω0是常数,Φ是(0,2π)上均匀分布的随机变量,试求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

解 依题意,Φ的概率密度为(www.xing528.com)

由随机过程数字特征的定义,可求得随机信号的数学期望E{ξ(t)}为

随机信号的方差D{ξ(t)}为

随机信号的自相关函数R(t1,t2)为

随机信号的协方差函数B(t1,t2)为

4.广义平稳随机过程

在实际中,要得到随机过程的n维概率密度函数,并依定义判其是严平稳过程非常困难,因此我们更关注的是随机过程的一、二阶统计特性。而随机过程的一、二阶统计特性,例如在电子技术上反映的就是我们关心的信号平均功率、交流平均功率、功率谱密度等物理量,因此,我们希望了解满足一、二阶平稳定义的随机过程的特性。

若随机过程的数学期望和方差与时间t无关(分别为a及σ2),且其自相关函数只与时间间隔τ有关(即R(t1,t2)=R(t1-t2)=R(τ)),则称该随机过程为广义平稳随机过程(也称宽平稳随机过程)。

一个严平稳随机过程必定是宽平稳随机过程,但反过来,一个宽平稳随机过程不一定是严平稳随机过程。但也有例外,如正态随机过程,因为后面将看到,正态随机过程的n维概率密度函数是由均值和协方差函数完全确定的,因而,如果其均值和协方差函数不随时间平移而变化,其n维概率密度函数也将不随时间的变化而变化,所以,一个宽平稳的正态随机过程也是严平稳的随机过程。以后如果没有特别指出,本书所说的平稳过程均为宽平稳随机过程。

5.平稳随机过程的各态历经性

在以上的讨论中可以看到,随机过程的统计特性都是在大量试验样本函数的基础上得到的,这在实际中无疑增大了试验的工作量和处理的复杂度。依据平稳随机过程的统计特性与时间起点无关的特性,是否可以找到更简捷的方法来得到平稳随机过程的统计特性呢?

辛钦已经证明,在附加一定的补充条件后,对平稳随机过程的一个样本函数观察足够长的时间,对该样本函数取时间平均,得到的时间平均特性从概率上趋于统计平均。对于这样的平稳随机过程则说它具有各态历经性(或称遍历性)。

平稳随机过程的各态历经性可以理解为,平稳随机过程的各个样本函数都同样经历了随机过程的所有可能状态,因此从随机过程的任何一个样本函数都能得到随机过程的全部统计特性,即可以用其任意一次的试验样本函数的时间平均代替其统计平均,从而方便地得到随机过程的统计特性。

设平稳遍历随机过程ξ(t)的一次试验样本函数为x(t),则其统计平均可以用如下时间平均来代替。

平稳随机过程ξ(t)数学期望的时间平均表示为

平稳随机过程方差的时间平均表示为

平稳随机过程自相关函数的时间平均表示为

对于平稳遍历随机过程ξ(t)则有

必须指出,只有平稳随机过程才具有各态历经性,但并不是所有的平稳过程都具有各态历经性。平稳过程的各态历经性,大大简化了实际试验和计算。本书如无特别说明,则所给出的平稳随机过程均为具有各态历经性的平稳随机过程。