随机过程的数字特征分析

随机过程的n维分布函数能完整地描述随机过程的统计特性,但在实际中,人们往往只能得到部分统计特性,因此有必要引入随机过程的基本数字特征,它们既能描述随机过程的重要特征,又便于实际测量。

1.随机过程ξ(t)的数学期望E[ξ(t)]

记作

注:a(t)是随机过程的所有样本函数在时刻t的函数值的平均值,因此,随机过程的数学期望也称为随机过程的均值。它表示了随机过程ξ(t)在每个时刻的波动中心,反映了随机过程的一维统计特性,一般情况下,它是时间t的函数。

2.随机过程ξ(t)的方差D[ξ(t)]

记作D[ξ(t)]=σ2(t)。其中,

是随机过程ξ(t)的均方值。

注:①σ2(t)是随机过程的所有样本函数在时刻t与均值偏离量的平方的统计平均值,它表示了随机过程ξ(t)的各个样本对于其数学期望的偏离程度,反映的是随机过程的一维统计特性,且总是正数。一般情况下,它也是时间t的函数。

②随机过程ξ(t)的数学期望E[ξ(t)]表示了随机信号的直流分量,所以E2[ξ(t)]是随机信号在1Ω电阻上的直流平均功率;均方值E[ξ2(t)]和方差σ2(t)分别表示随机信号在1Ω电阻上的平均功率与交流平均功率,它们之间的关系如下:

3.自协方差函数B(t1,t2)

自协方差函数,常简称为协方差函数,描述了随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2,相对于均值的起伏量之间的相关程度。随机过程ξ(t)的自协方差函数B(t1,t2)定义为

其中,f2(x1,x2;t1,t2)是随机过程ξ(t)的二维概率密度函数。

4.自相关函数R(t1,t2)

自相关函数常简称为相关函数。设ξ(t1)、ξ(t2)是随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上的两个随机变量,其相应的二维概率密度函数为f2(x1,x2;t1,t2),随机过程的自相关函数为

注:①自协方差函数和自相关函数体现了随机过程的二维统计特性。

②自协方差函数和自相关函数二者有如下关系:

当a(t1)或a(t2)为零时,有B(t1,t2)=R(t1,t2)。(www.xing528.com)

③若t2=t1+τ,则R(t1,t2)可以表示为R(t1,t1+τ),即自相关函数与时间的起点t1和时间间隔τ有关。当t2=t1=t时,有

5.相关系数ρ(t1,t2)

随机过程ξ(t)的相关系数为

注:随机过程ξ(t)的相关系数表示在任意两个时刻t1和t2上的两个随机变量ξ(t1)和ξ(t2)的相关程度。若ρ(t1,t2)=0,则B(t1,t2)=0,表明ξ(t1)和ξ(t2)不相关。

6.互协方差函数Bξη(t1,t2)和互相关函数Rξη(t1,t2)

随机过程ξ(t)与η(t)的互协方差函数定义为

随机过程ξ(t)与η(t)的互相关函数定义为

注:随机过程ξ(t)与η(t)的互协方差函数表明的是,在任意两个时刻两过程起伏值之间的相关性,而互相关函数表明了在任意两个时刻,两过程之间的相关性。它们二者的关系可以用下式表示:

例2.3.2 有一随机信号为ξ(t)=Vcos(ω0t),其中ω0是常数,V是标准正态分布的随机变量,试求该随机信号的均值、方差、自相关函数和自协方差函数。

解 因为V是标准正态分布,所以V的均值E[V]=0、方差D[V]=1。由式(2.3.8)可以求出随机变量V的均方值为

随机信号的数学期望E{ξ(t)}为

因为cos(ω0t)是随机变量,所以,在作统计平均运算时应将其当作常数。

随机信号的方差D{ξ(t)}为

随机信号的自相关函数R(t1,t2)为

随机信号的协方差函数B(t1,t2)为