任意点的位置、速度和加速度分析

柔性体系统中的坐标系如图1-1所示，包括惯性坐标系（e^r）和动坐标系（e^b）。前者不随时间变化，后者是建立在柔性体上，用于描述柔性体的运动。动坐标系可以相对惯性坐标系进行有限的移动和转动。动坐标系在惯性坐标系中的坐标（移动、转动）称为参考坐标。

与刚体不同，柔性体是变形体，体内各点的相对位置时时刻刻都在变化，只靠动坐标系不能准确描述该柔性体在惯性坐标系中的位置，因此，引入弹性坐标来描述柔性体上各点相对动坐标系统的变形。这样柔性体上任一点的运动就是动坐标系的“刚性”运动与弹性变形的合成运动。由于柔体上各点之间有相对运动，所以动坐标系的选择不是采用连体坐标系，而需要采用随着柔性体形变而变化的坐标系，即“浮动坐标系”。

图1-1 柔性体上节点P的位置

在研究多柔体系统时，合适的坐标系是非常重要的。在确定浮动坐标系时有两点准则：便于方程建立求解；柔性体刚体运动与变形运动的耦合尽量小。目前常见的浮动坐标系大致有5种：局部附着框架、中心惯性主轴框架、蒂斯拉德框架、巴克凯恩斯框架以及刚体模态框架，采用哪一种视实际情况而定。

在分析刚体平面运动的时候，把复杂的刚体平面运动分解为几种简单的运动。在对柔性体的运动，尤其是在小变形的情况下，也可以采用类似的方法。如某柔性体从位置L1运动到位置L2，其间运动可以分解为：刚性移动→刚性转动→变形运动。对于柔性体上任意一点P，其位置向量为：

r=r₀+A(s_p+u_p) （1-20）

式中，r为P点在惯性坐标系中的向量，r₀为浮动坐标系原点在惯性坐标系中的向量；A为方向余弦矩阵；s_p为柔性体未变形时P点在浮动坐标系中的向量；u_p为相对变形向量，u_p可以用不同的方法离散化，与讨论平面问题相同，对于点P，该单元的变形采用模态坐标来描述，有：(www.xing528.com)

式中

Φ_p为点P满足里兹基向量要求的假设变形模态矩阵；q为变形的广义坐标。

柔性体上任一点的速度向量及加速度向量，可以对式（1-20）求对时间的一阶导数和二阶导数得到：