Hilbert变换简述与应用

包络线是指包围快速振荡分量的波形，该波形本身随时间而缓慢变化。通过使用Hilbert变化，可以去除信号中的快速振荡，获得信号的包络线。

函数x（t）的Hilbert变换是

（-πt）^-1的Fourier变换是isgnω，其中正的ω对应+i，负的ω对应-i。Hilbert变换相当于一个滤波器，通过该滤波器后，各频谱分量的幅值保持不变，但各频谱分量的相位移动π/2，移动的方向由ω的符号决定。Hilbert变换将偶函数变为奇函数，将奇函数变为偶函数；余弦分量被变换成负的正弦分量，正弦分量被变换成余弦分量。关于Hilbert变换更深入的讨论可见参考文献[22]。

单自由度系统的脉冲响应函数是一个指数衰减的正弦函数。Hilbert变换根据原始时间信号计算新的时间信号。两个信号结合在一起形成解析信号

解析信号的幅值就是原始时间信号的包络线。当包络线按照dB刻度绘制时，图形为一条直线，而直线的斜率与阻尼比有关。单自由度系统的脉冲响应函数可以用下面的方程描述：

式中，ω_n是自然频率，ξ是阻尼比，A是残余值。式（7.61）的Hilbert变换为(www.xing528.com)

解析信号为

解析信号的幅值消除了振荡分量，给出的包络线为

对两边取自然对数得到

这是一个关于t的直线方程。如果已知直线的斜率（slope），则阻尼比可以这样估计：

当一个波形所含的振荡模式数未知时，Hilbert变换提供了一种估计波形所含振荡模式数的方法。