加权最小二乘状态估计方法优化

如果所有测量数据在最小二乘估计中同等看待，那么精度较差的测量数据对状态估计结果的影响与精度较好的测量数据是一样的。这样，由于低精度测量数据的影响，最终的估计结果可能包含很大的误差。通过引入加权矩阵以使精度高的测量数据比精度低的测量数据具有更大的权重，可以促使估计结果与精度高的测量数据更加吻合。这就导致了所谓的加权最小二乘估计。

式中，w_i是加权系数，反映量测量z_i的置信水平。

例6.2 假定已知电流表在近期进行过校准而电压表没有，从而认为电流量测量的置信水平高于电压量测量。使用如下的加权矩阵，求解节点电压V₁和V₂。

解6.2 引入加权矩阵后，新的最小化问题为

A^TWAx=A^TWz （6.22）

矩阵A^TWA也被称为增益矩阵。使用与前面相同的步骤，加权后的节点电压估计值为

而误差向量为(www.xing528.com)

注意，对电流量测量增加的置信水平减小了对电流的估计误差，但电压的估计误差几乎不变。

例6.2说明了置信权重对估计精度的影响。所有测量仪表都会给测量值带来一定的误差，问题是如何量化这些误差并在估计过程中考虑它们的作用。一般地，可以假设误差服从均值为零的正态（高斯）分布，并且量测量之间相互独立。这意味着测量误差大于真值的概率与小于真值的概率相等。均值为零的正态分布有几个性质：记σ为标准差，则所有量测量中有68%会落在期望值0（已假设了均值为零的正态分布）的±σ区间内；更进一步，所有量测量中有95%会落在期望值0的±2σ区间内以及99%会落在期望值0的±3σ区间内。量测量分布的方差等于σ²，这意味着若量测量的方差相对较小，那么大多数的量测量将接近于均值。上述性质的一种解释是，测量越精确导致的方差越小。

这种精度与方差之间的关系直接引出了构造加权矩阵的一种方法。考察误差平方矩阵，可以表示为

式中，每个e_i表示第i个量测量的误差。每个误差乘积的期望值即均值用E[·]表示。第i个对角线元素的期望值就是第i个量测量误差分布的方差σ²_i。各非对角元素的期望值，即协方差，等于零，因为假定了各量测量之间是相互独立的。因此，误差平方矩阵的期望值（也称为协方差矩阵）是

对于从特定仪表采集的数据，方差越小（即这组数据一致性较好），该组数据的置信水平越高。具有较高置信水平的一组数据应比具有较大方差（即置信水平低）的一组数据有更高的权重。因此，一个合理的能反映每个数据置信水平的加权矩阵可以构造成协方差矩阵的逆矩阵W=R^-1。这样，来自于具有较高一致性（方差小）仪表的量测量就比来自于具有较低一致性（方差大）仪表的量测量有更大的权重。因此，一种可能的加权矩阵可表示为