前面已讲过多步法的一般性表达式为
如果满足如式（5.51）和式（5.52）的精确性约束条件，那么对于次数小于或等于k的多项式x（t），上述多步数值积分算法就能够给出xn+1的精确值。
式（5.51）的精确性约束条件通常被称为一致性约束条件，满足式（5.51）的多步数值积分算法被认为是“具有一致性的”。对于一个期望的次数为k的多项式，这些约束条件可以通过很多种方式来得到满足。通过预先定义一些系数之间的关系，可以导出几种不同类别的方法。Adams算法就是设定系数a1=a2=…=ap=0而导出的。在此条件下，由一致性约束条件可得系数a0=1。因此，Adams算法可简化为
式中，p=k-1。Adams算法可进一步划分为显式算法和隐式算法。显式算法，通常被称为Adams-Bashforth算法，首先设定系数b-1=0，然后应用第2个精确性约束条件式（5.52）得到
用矩阵形式表示式（5.54）可得
当选定要求的k值后（相应地就选定了阶数p），通过式（5.55）可以求得剩下的系数bi。
例5.2 推导三阶Adams-Bashforth数值积分公式。
解5.2 令k=3，得到如下线性方程组：
解得
故三阶Adams-Bashforth数值积分公式为
当使用上述算法时，xn，xn-1，xn-2必须存储在内存中。(www.xing528.com)
Adams法的隐式形式被称为Adams-Moulton法，其中b-1≠0，p=（k-2），其一般性表达式为
根据第2个精确性约束条件式（5.52）有
写成矩阵形式为
例5.3 推导三阶Adams-Moulton法。
解5.3 令k=3，得到如下方程：
可解得
故三阶Adams-Moulton法可用下式表示：
实现此算法时，xn，xn-1必须存储在内存中，且当f（x）为非线性时，式（5.60）需通过迭代求解。
Adams-Moulton法是隐式的，必须采用Newton-Raphson法或其他类似的迭代方法进行求解，式（5.49）给出了Newton-Raphson法迭代的格式。迭代算法需要设置合适的初始值以减少迭代次数，而显式Adams-Bashforth法常用来为隐式Adams-Moulton法提供初始值。如果采用了足够高阶的预测算法，那么Ad-ams-Moulton法通常只需要一次迭代即可收敛。这个过程通常称为“预测-校正”法，Adams-Bashforth法用于预测，Adams-Moulton法用于校正。
实施多步法的另一个问题是最开始如何启动计算过程，因为高阶算法需要多个先值。通常的解决方法是使用高阶单步法，或随着已知先值的增加，增加多步法的阶数，直到产生的先值满足所采用的多步法的要求为止。
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