采用Newton-Raphson方法求解方程的数值模拟问题

1.证明对于如下的函数，不管初始条件如何选择，Newton-Raphson迭代都是发散的。

（a）f（x）=x²+1

（b）f（x）=7x⁴+3x²+π

2.设计一个迭代算法用于计算任何正实数的5次方根。

3.用Newton-Raphson求解如下方程，设初始值为[x⁰y⁰]^T=[1 1]^T：

0=4y²+4y+52x-19

0=169x²+3y²+111x-10y-10

4.用Newton-Raphson求解如下方程，设初始值为[x⁰y⁰]^T=[1 1]^T：

0=x-2y+y²+y³-4

0=-xy+2y²-1

5.采用数值微分方法求Jacobi矩阵，重新做问题3和问题4，数值微分的步长对每个变量都是1%。

6.采用割线方法重新做问题3和问题4。

7.采用同伦映射法重新做问题3和问题4，设0=f₀₁=x²₁-2和0=f₀₂=x²₂-4。

8.编写一个一般性的潮流计算程序（适用于任何系统），该程序须满足：

（a）读入负荷、电压和发电数据，可以假定#1母线对应平衡节点。

（b）读入线路和变压器数据，构建导纳矩阵Y_bus。(www.xing528.com)

（c）采用Newton-Raphson法求解潮流方程，迭代终止的准则是‖f（x^k）‖≤∈=0.0005。

（d）计算相关未知量：线路潮流和线路损耗。

该程序的Newton-Raphson法迭代部分应调用LU分解子程序和节点最优排序子程序。该程序的迭代初始值确定方式应提供“平启动”和“先前值”2个选项，完成这个功能的最简单方法是将其读写到同一个数据文件。注意第1次运行时必须采用“平启动”方式。

9.系统接线如图3.18所示，系统数据如下所示。对此系统进行潮流计算，并计算相关的未知量，包括线路潮流和线路损耗。

图3.18 Ward-Hale 6母线系统

10.修改你的潮流计算程序，使之变为解耦潮流程序，即假定和。重新做问题9，探讨解耦潮流算法与完整Newton-Raphson法潮流算法在收敛特性上的差别。

11.将线路电阻增加75%，即所有电阻乘1.75，重新做问题9和问题10，讨论你的发现。

12.采用连续潮流算法，针对母线6的负荷画出图3.18系统在原始参数下的“PV”曲线，从P=0到最大功率输送点，保持P/Q比例不变，增大和减小负荷。

13.根据如下的假设条件，推导出适合于快速解耦三相潮流算法的常值解耦Jacobi矩阵。

（1）对所有的i和p，V^p_i≈1.0pu

（2）θ^pp_ij≈0

（3）θ^pm_ij≈±120°，p≠m

（4）g^pm_ij<<b^pm_ij