连续法：扩大方法收敛区域的数值方法

到目前为止所讲述的很多迭代法，一般地只有当初始值足够靠近真解x^∗时，才会收敛到f（x）=0的一个解x^∗。连续法可以认为是一种试图扩大某种给定方法的收敛区域的方法。在很多物理系统中，用数学方程f（x）=0描述的问题可能以某种自然方式依赖于系统的某个参数λ。当这个参数被设置为零时，系统f₀（x）=0具有一个已知的解x⁰。但是，当λ变化时，存在一族函数H（x，λ），满足：

H（x，0）=f₀（x），H（x，1）=f（x） （3.47）

式中，H（x，0）=0的一个解x⁰是已知的，而方程H（x，1）=0是希望求解的问题。

即使f（x）不是自然地依赖于某个合适的参数λ，满足式（3.47）的一族问题也可以用下式来定义：

H（x，λ）=λf（x）+（1-λ）f₀（x），λ∈[0，1] （3.48）

式中，f₀（x）=0的解x⁰已知的。当λ从0变到1时，上式的映射族从f₀（x）=0变到f₁（x）=0，而方程f₁（x）=f（x）=0的解是希望求出的解x¹=x∗。

作为获得x¹=x∗的第1种方法，区间[0，1]可以被分割成

0=λ₀<λ₁<λ₂<…<λ_N=1

并考虑求解如下问题：

H（x，λ_i）=0，i=1，…，N （3.49）

再假定采用Newton-Raphson法来求解式（3.49）中的每一个问题i，并假定第i个问题的初始值取H（x，λ_i-1）=0的解。当i和i+1之间的间隔足够小时，这种做法就解决了确定好的初始值的问题。

式（3.48）给出的关系是一个“同伦”的例子，所谓同伦，就是两个函数f（x）和f₀（x）嵌入在单个连续函数中。正规地描述，任何两个函数之间的同伦是一个连续映射f，f₀：X→Y：

H：[0，1]×X→Y （3.50）

使得式（3.47）成立。如果这样的映射存在，就说f与f₀同伦。

同伦函数被用来定义一条解的路径，从一个相对简单的问题（f₀（x）=0）的解到一个比较复杂的问题的解（f（x）=0），而后者正是希望得到的。这条路径由一族问题的解构成，它反映了从简单问题的解到所希望问题的解之间的连续形变。连续法是一种跟踪此形变路径的数值方法。

同伦连续法可以被构造成穷尽性的且全局收敛，即对于一个给定的非线性方程组，不管初始值如何选择，都能求出其所有的解并且是收敛的^[58]。由于沿着解的路径，对于λ∈[0，1]的每一点，同伦问题等于0。因此对于路径上连续的两点λ=λ_k和λ=λ_k+1时它也为0，从而有

0=H（x^k，λ_k）=λ_kf（x^k）+（1-λ_k）f₀（x^k） （3.51）

0=H（x^k+1，λ_k+1）=λ_k+1f（x^k+1）+（1-λ_k+1）f₀（x^k+1） （3.52）在解的路径上，同伦参数λ_k+1与参数集

x^k+1=x^k+Δx相关。如果参数变化很小，函数f₀（x^k+1）和f（x^k+1）就可以用在x^k处的Taylor级数展开来线性近似，忽略二次及以上的高次项。对式（3.52）应用此技术得

（λ_k+Δλ）[f（x^k）+F_x（x^k）Δx]+（1-λ_k-Δλ）[f₀（x^k）+F_0x（x^k）Δx]=0 （3.53）

式中，F_x和F_0x分别是f（x）和f₀（x）关于x的Jacobi矩阵。从式（3.53）减去式（3.51）得

0=[λ_k+1F_x（x^k）+（1-λ_k+1）F_0x（x^k）]Δx+[f（x^k）-f₀（x^k）]Δλ（3.54）利用x^k+1=xk+Δx，式（3.54）可以用同伦函数进行改写，并得到如下的更新方程：

式中，

λ_k+1=λ_k+Δλ

而H_x（x，λ）是H（x，λ）关于x的Jacobi矩阵。(www.xing528.com)

例3.6 使用同伦映射求解如下方程组

0=f₁（x₁，x₂）=x²₁-3x²₂+3 （3.56）

0=f₂（x₁，x₂）=x₁x₂+6 （3.57）

其中起点方程组为

0=f₀₁（x₁，x2）=x²₁-4 （3.58）

0=f₀₂（x₁，x₂）=x²₂-9 （3.59）

解3.6 构造同伦函数如下：

H（x，λ）=λf（x）+（1-λ）f₀（x），λ∈[0，1] （3.60）

0=λ（x²₁-3x²₂+3）+（1-λ）（x²₁-4） （3.61）

0=λ（x₁x₂+6）+（1-λ）（x²₂-9） （3.62）

采用连续法根据式（3.55）将解向前推进：

λ^k+1=λk+Δλ （3.63）

采用Newton-Raphson法直接求解如下的同伦方程使解精确化：

0=λ^k+1（（x₁^k+1）²-3（x₂^k+1）²+3）+（1-λ^k+1）（（x₁^k+1）²-4） （3.65）

0=λ^k+1（x₁^k+1x₂^k+1+6）+（1-λ^k+1）（（x₂^k+1）²-9） （3.66）取Δλ=0.1，从λ⁰=0开始计算，很容易得到初始值为

x⁰₁=2

x⁰₂=3

根据式（3.63）和式（3.64）预测k=1时的解得到：

x¹₁=2.3941

x₂¹=2.7646

以此为初始值对式（3.65）和式（3.66）应用Newton-Raphson法使解精确化，得到：

x¹₁=2.3628

x₂¹=2.7585重复这个过程直到λ=1，可得到所求问题的正确解为x₁=-3和x₂=2。

如果取初始解为x⁰₁=-2和x⁰₂=-3，也可以进行同样的求解过程。这种情况下，所求问题的解将为x₁=3和x₂=-2，是原方程组的另一组解。